Читать реферат по математике: "РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ. ФОРМАЛЬНОЕ ПРИСОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

На прошлой лекции было показано, что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. В случае простого алгебраического расширения добавляется единственный элемент U, являющийся корнем некоторого неприводимого многочлена над k степени n. Это приводит к полю k(U), которое будет расширением степени n исходного поля k

Оказывается, что конструкцию присоединения можно провести “изнутри”, не выходя в большее поле K. Идея этого построения раскрывается в следующей теореме

Теорема. Пусть p k[x] - неприводимый многочлен над k, U - его корень в некотором большем поле K, (p) =pk[x] k[x] - главный идеал с образующим элементом p. Тогда k(U)   k[x]/(p)

Доказательство. Определим отображение :k[x]   k(U)   формулой (q)=q(U). Поскольку каждый элемент V k(U) может быть записан в виде многочлена от U,   сюръективно. По теореме о гомоморфизме k(U)   k[x]/Ker . Остается доказать, что Ker = (p). Если q=pd, то q(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом (p)   Ker . Обратно, если q(U) = 0 то поскольку p неприводим и p(U) = 0 , p | q и значит Ker   (p)

Следствие. Если   и   корни одного неприводимого над k многочлена, то поля k( ) и k( ) изоморфны, причем при этом изоморфизме каждый элемент поля k отображается на себя

Замечание. Поле F = k[x]/(p), для своего построения не требует знания большего поля K, в котором лежит корень   неприводимого многочлена p. Поле F содержит k. Рассмотрим естественный гомоморфизм t: k[x]   F и определим элемент U поля F равенством U= t(x). Тогда, очевидно, p(U) =0 . Теперь только что доказанная теорема позволяет утверждать, что F k(U). Такой способ присоединения новых элементов к полю   называется формальным. Отметим, что именно так было построено поле C комплексных чисел исходя из поля вещественных чисел R: мнимую единицу i мы присоединили, как корень (неприводимого над R) многочлена . Присоединение было формальным в вышеуказанном смысле, так как находясь в области вещественных чисел, мы не можем указать корень этого многочлена

Примеры

Пусть k = Q, U = . Тогда p= имеет корни U, U, U, где - кубический корень из 1. Согласно только что сформулированному следствию, поля k=k(U) и k=k( U) изоморфны, хотя они и состоят из элементов различной природы: все числа из поля k действительные, а для k это уже не так

Рассмотрим k = GF(2) и неприводимый многочлен p= +x+1 над этим полем. Нам неизвестно никакое большее поле K, в котором следует искать корни этого многочлена. В соответствии с только что доказанной теоремой рассмотрим поле K=k[x]/(p). Всякий его элемент можно записать в виде a+bU, где a , b GF(2), причем +U+1 = 0 . Поле K поэтому содержит 4 элемента: 0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K является расширением поля GF(2) и потому имеет характеристику 2. С учетом этого обстоятельства его элементы складываются очевидным образом. Что касается умножения, то (как и во всяком поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bd и остается воспользоваться равенством =U+1. Например, U(U+1) = +U =1 так что элементы U и U+1 взаимно обратны. Поле K обозначается GF(4). В нем многочлен p имеет корень U.   Другим корнем p в том же поле будет V = U+1. Значит в поле GF(4) многочлен p раскладывается на множители первой степени: p = (x+U)(x+U+1)

Поле разложения многочлена

Пусть p k[x] произвольный многочлен степени n. Разложим его в произведение неприводимых многочленов: p = . Присоединяя к k корень многочлена p построим новое поле , в котором p = (x-a) ,

Похожие работы