Читать реферат по математике: "МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

И здесь понятие сфера получает обобщение. Например, дикая сфера – топологическая сфера в , не ограничивающая области, гомеоморфной ; Милнора сфера (экзотическая сфера) – многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное .

Топологическое пространство, гомеоморфное сфере, называется топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что некоторое пространство является топологической сферой.

Примеры.

а) Инвариантная топологическая характеристика сферыприне известна. О случае см. Одномерное многообразие. Для того чтобы континуум был гомеоморфен сфере , необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нём такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера).

б) Полное односвязное риманово пространство размерностикривизнакоторого для всех касательных двухмерных плоскостей– ограничена , т. е.гомеоморфно(теорема о сфере).

в) Односвязное замкнутое гладкое многообразие, (целые) гомологии которого совпадают с гомологиямипри(при– неизвестно). Если , то оно также и гомеоморфно , пригипотеза остаётся, придиффеоморфизм не имеет места.

Совершенно аналогично определяется сферав метрическом пространстве . Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или может быть пустым).

В нормированном пространствес нормойсферой называется множество : это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая, например, гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной сферы. Один из вариантов, применяющихся в топологии, – тек называемая бесконечномерная сфера – строгий индуктивный пределпоследовательности вложенных сфер:

другое определение: , где– бесконечномерное многообразие Штифеля. Для любогооказывается, что .

Приложения понятия сфера чрезвычайно разнообразны. Например сферы участвуют в конструкциях новых пространств или дополнительных структур на них. Так, например, проективные пространстваможно интерпретировать как сферус отождествлёнными диаметрально противоположными точками; сфера с ручками и дырами используются в теории ручек.

Буземан Г., Геометрия геодезических. – М., 1962. Зорич В. А. Математический анализ. Ч.1. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. Розенфельд Б. А., Многомерные пространства. М., 1966. Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства. М., 1969.

Похожие работы