11
СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ 2МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ. 3ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В 4СФЕРА . 6НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ . 7СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 11ВВЕДЕНИЕМногие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих его факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному наборучисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, становится в соответствие значениеисследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.
Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объём данного количества газа вычисляется по формуле
,
где– постоянная,– масса,– абсолютная температура и– давление газа. Таким образом, значениезависит от переменной упорядоченной тройки чиселили, как говорятесть функция трёх переменных .
Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.
Как и в случае функции одного переменного, изучение функции многих числовых переменных начинается с описания их области определения.
МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ.Условимся черезобозначать множество всех упорядоченных наборов , состоящих издействительных чисел.
Каждый такой набор будем обозначать одной буквойи в соответствии с удобной геометрической терминологии называть точкой множества .
Числов набореназывают -й координатой точки .
Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестверасстояние между точками ,по формуле
(1)
Функция
,
определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами:
; ; ; .
Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского.
Функцию, определённую на парахточек некоторого множестваи обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в .
Множествовместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.
Таким образом, мы превратилив метрическое пространство, наделивметрикой, заданной соотношением (1).
Из соотношения (1) следует, что при
(2)
т. е. расстояние между точкамимало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.
Из (2), как и из (1), видно, что примножествосовпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА ВОпределение 1. Примножество
называется шаром с центромрадиусаили также -окрестностью точки .
Определение 2. Множествоназывается открытым в , если для любой точкинайдётся шартакой, что .
Пример 1.– открытое множество в .
Пример 2.– пустое множество – вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е.– открытое множество в .
Пример 3. Шар– открытое множество в .
Действительно, если , т. е. , то прибудет , поскольку
.
Пример 4. Множество , т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной
Похожие работы
Тема: МНОЖЕСТВО R* И РАССТОЯНИЕ В НЁМ |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Кластерный анализ. Расстояние между объектами. Расстояние между кластерами |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Система виброизоляции насосного агрегата НМ-5000 |
Предмет/Тип: Другое (Курсовая работа (т)) |
Тема: Автоматизация магистрального насосного агрегата НМ 1250-260 |
Предмет/Тип: Информатика, ВТ, телекоммуникации (Диплом) |
Тема: Организация ведения бухгалтерского и налогового учета в ООО "Феникс-Авто НМ" |
Предмет/Тип: Бухучет, управленч.учет (Курсовая работа (т)) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы