Читать реферат по истории техники: "Обобщенный принцип наименьшего действия" Страница 4
(Назад)
(Cкачать работу)зависит от интегральных операторов, метод, использованный в монографии [5], неприменим тоже. В то же время для решения сформулированной задачи достаточно методов вариационного исчисления, теории обобщенных функций и теоремы Фубини [8], поэтому будем поступать так.
Негладкий, континуально многозначный или разрывной интегрант можно представить с помощью функции включения H(x) (1.2) или ее производных, т.е. d -функции (1.5) и ее производных, используя их фильтрующие свойства. При варьировании функционала I все производные будем понимать в обобщенном смысле
.
Заметим, что этот интеграл теперь имеет математический и физический смыл, а не является "просто символом", как при классическом определении d -функции.
По общему правилу [9-12] введем однопараметрическое семейство кривых , где d h(t)-произвольная функция из Lp[a,b], a - малый параметр. Подставляя в операторы (2.1), а операторы (2.1) в функционал (2.2) и дифференцируя I по a , получим вариацию функционала d I и приравняем ее нулю:
(2.3)
Теперь, чтобы получить необходимое условие экстремума, надо исключить произвольную функцию из вариации функционала d I. В классическом вариационном исчислении это делается с помощью интегрирования по частям, которое в данном случае неприменимо. Полагая, что к вариации d I применима теорема Фубини [8], одним из условий применимости которой может быть суммируемость произведений
изменим в формуле (2.3) порядок интегрирования [10, 11]
(2.4)
Используя основную лемму вариационного исчисления в формулировке Л.Янга [7], получим аналог уравнения Эйлера для функционалов с континуально многозначным или разрывным интегрантом, зависящих от линейных интегральных операторов, действующих на экстремаль,
(2.5)
Следствие. Если воспользоваться фильтрующим свойством d -функции и ее производных, и обозначить ядра операторов (2.1) через Ki(x,t)=d (i)(x-t), то уравнение (2.5) примет вид уравнения Эйлера
(2.6)
простейшей вариационной задачи [12], но для функционалов с континуально многозначным или разрывным интегрантом
(2.7)
зависящих от искомой функции h(t) и ее производных h(i)(t).
Пример. Задача Дидоны с канавой. В распоряжении царевны имеется веревка заданной длины L, которой следует ограничить участок побережья, причем береговая черта представляется линией x=0 на плоскости Оtx (Рис.2). При этом надо найти кривую длины L, лежащую в полуплоскости, соединяющую точки (-1,0) и (1,0), такую что площадь между кривой и осью t максимальна.
Стремясь иметь для примера негладкий интегрант, Кларк модифицировал [3, с.178] задачу Дидоны следующим образом. Он полагает, что для некоторого a >0 земля в области x>a худшего качества и доход с нее составляет только половину дохода с земли в области x
Похожие работы
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы