Читать реферат по истории техники: "Обобщенный принцип наименьшего действия" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

При прохождении функции в d a(x) по направлению кривой от к "стенки" прямоугольного импульса проходят в противоположных направлениях, поэтому d -функция (состоящая из двух "слипшихся" "стенок") одновременно направлена в противоположных направлениях. (Одну кривую, которую проходят в разных направлениях, считают различными кривыми [8]).

Определенная выше d -функция имеет наглядное представление в виде луча - положительной полуоси ординат. Имея бесконечную высоту и нулевую ширину, d -функция ограничивает единичную площадь (неопределенность типа) и обладает двойной направленностью.

Следует отметить, что в приведенном определении d -функция не рассматривается как "равная нулю при всех и обращающаяся в точке x=0 в бесконечность" [8]. Теперь d -функция рассматривается как луч - линейное множество, имеющее мощность континуума.

Поскольку уточненное определение d -функции не затрагивает ее определения как функционала на пространстве D, все свойства d -функции, рассматриваемой как сингулярная обобщенная функция, сохраняются.

Производная d -функции имеет наглядное представление в виде оси ординат, обладает двойной направленностью в каждой из полуплоскостей y0 и пересекает ось абсцисс (все это в одной точке x=0).

Далее все производные понимаются в обобщенном смысле [6-9], т.е. в виде свертки с производными сингулярной d -функции.

Теория обобщенных функций и разработанная техника вычислений их производных [6-9] позволяют распространить необходимые условия экстремума на континуально многозначные (так называемые разрывные) функции многих действительных переменных.

2. Вариационные задачи с разрывным интегрантом

Многие прикладные оптимизационные задачи сводятся к поиску экстремумов интегральных функционалов с разрывным интегрантом. Здесь "разрывной" понимается так: не обязательно разрывной. Обычно, в том числе и в монографиях [3, 5], оптимизационные задачи рассматриваются для функционалов, зависящих от операторов дифференцирования. В работах [10, 11] рассматриваются функционалы, зависящие от интегральных операторов, что существенно расширяет круг решаемых задач.

Будем решать вариационную задачу для функционалов с разрывным интегрантом, зависящих от линейных интегральных операторов

(2.1)

где h(t) - экстремаль, относительно которой предполагаем, что.

Функционал качества I может зависеть от нескольких операторов

(2.2)

где F[T ]- интегрант, определяющий связь (композицию) операторов F i в функционале I. Интегрант F[T ] может быть непрерывным, гладким, негладким и даже континуально многозначным или разрывным.

Оптимизации методами негладкого анализа посвящена монография Френка Кларка [3], но методику Кларка применить к функционалам, зависящим от интегральных операторов, нельзя, как нельзя ее применять и для функционалов с континуально многозначным или разрывным интегрантом. Кроме того, экстремали у Кларка предполагаются абсолютно непрерывными. Все это несколько сужает область применения негладкой оптимизации Кларка - теории, впитавшей в себя достижения его предшественников, на кoторых он ссылается в своей монографии. Поскольку оптимизируемый функционал

Похожие работы