(Назад)
(Cкачать работу)інтегралів звести до такого вигляду, щоб підінтегральна функція мала розрив лише на одному з кінців інтервалу інтегрування.
Отже, далі підлягають детальному вивченню інтеграли від розривних функцій лише в тому випадку, коли тільки на одній з границь інтегрування функція має розрив.
Означення. Якщо для інтеграла при , де або не існує, або дорівнює , існує скінчена границя, то його називають невласним інтегралом функції від до і позначають
За цієї умови інтеграл називають збіжним, а функцію інтегрованою на інтервалі . Якщо ж ця границя нескінченна або не існує, то його називають розбіжним. У тому випадку, коли підінтегральна функція має розрив за значення, що дорівнює нижній границі інтегрування , інтеграл можна звести до того випадку, коли розрив відповідатиме верхній границі інтегрування:
де функція має розрив у точці , або
Приклади. 1)
У цьому інтегралі підінтегральна функція розривна при , якщо . Маємо
Відповідно до визначення заданий інтеграл збіжний, якщо і розбіжний, якщо
2)
Підінтегральна функція тут має розриви на обох кінцях інтегрування при i . Тому інтеграл запишемо так:
Тут у першому інтегралі розрив при , а в другому при .
Обчислимо спочатку перший інтеграл
Підстановка зведе інтеграл до вигляду Тут варто зазначити, що підстановка звела невласний інтеграл до інтеграла у звичайному його розумінні.
Аналогічно другий інтеграл
Остаточно одержимо: Заданий інтеграл виявився збіжним.
Ознаки збіжності невласних інтегралів від необмежених функцій.
Тут можна обмежитися розглядом лише невласного інтеграла вигляду , де функція перетворюється в нескінченність лише в точці , бо всякі інші випадки, як це було показано раніше, можуть бути зведені до розглядуваного тут.
Для такого інтеграла є правильними такі твердження (дуже схожі до тих, що розглядалися у процесі вивчення інтегралів з нескінченними границями):
10. Якщо на інтервалі , то інтеграл
збіжний тоді і тільки тоді, коли функція
існує і скінчена на інтервалі .
20. Інтеграл тоді і тільки тоді збіжний, коли для всякого знайдеться таке , що , якщо належать відкритому інтервалу .
30. Якщо збіжний, то збіжним є інтеграл .У цьому випадку називається абсолютно збіжним, а функція - абсолютно інтегрованою.
40. Нехай функція , невласний інтеграл
збіжний і на інтервалі виконується нерівність . Тоді існує і буде збіжним інтеграл . Якщо при цьому і , то із розбіжності інтеграла випливає розбіжність інтеграла (теорема порівняння).
50. За функцію порівняння зручно брати функцію . На інтервалі , якщо , маємо:
і для
Звідси випливає, що інтеграл (, - дійсне число) збіжний при При цей інтеграл розбіжний.
60. Із п.п. 40 і 50 випливає, що збіжний, якщо функція на інтервалі обмежена, а при він розбіжний.
Цей результат одержуємо з рівності Справді, оскільки збіжний, то збіжним буде і .
На основі твердження п. 60 очевидним стає факт збіжності інтегралів
Жоден з цих інтегралів не виражається через елементарні функції в скінченому вигляді.
Похожие работы
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы