(Назад)
(Cкачать работу)якщо тобто
30. Якщо збіжний, то збіжним є також інтеграл і при цьому . Інтеграл називається абсолютно збіжним, якщо збіжний.
40. Теорема порівняння. Якщо для виконується нерівність , причому ці обидві функції невід’ємні, то із збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла , а із розбіжності випливає розбіжність .
Як функція порівняння, важливу роль відіграє функція . Оскільки і , одразу ж стає зрозумілим, що збіжний при і розбіжний, якщо
Приклади. Дослідити збіжність інтегралів:
а), б) , в)
Р о з в ’ я з о к. а) Оскільки , то
Безпосереднім обчисленням останнього інтеграла легко встановити, що він збіжний при Тому і даний інтеграл є збіжний при Неважко довести, що при інтеграл розбіжний.
б) Інтегруванням частинами дістанемоЗвідси елементарно одержимо такі висновки: заданий інтеграл збіжний при ; якщо , то збіжність буде неабсолютною; при інтеграл збіжний абсолютно, бо
при інтеграл розбіжний.
в) Для дослідження інтеграла доведемо спочатку, що існує таке , за якого вірна нерівність Оскільки при ця нерівність виконується, то для тих значень , за яких , виконуватиметься і дана нерівність.
Нерівність для похідних лівої і правої частин набирає вигляду і виконується при . Справді, маємо , що істинно. Отже, для всіх маємо . Інтеграл збіжний, якщо збіжним є інтеграл . Оскільки для то збіжний при , тобто при для всіх скінчених .
Цілком очевидно, що при заданий інтеграл розбіжний.
На основі теореми порівняння створено ряд конкретних критеріїв збіжності невласних інтегралів. Заслуговує на увагу і такий критерій збіжності:
50. Якщо існує границя
,
то із збіжності інтеграла при випливає збіжність інтеграла , а із розбіжності першого інтеграла при C > 0 випливає розбіжність другого.
Сформулюємо ще одну ознаку збіжності, незалежну від теореми порівняння і застосовну навіть для знакозмінної підінтегральної функції.
60. Якщо інтеграл є обмеженою функцією величини , тобто , а -
монотонна функція, що прямує до нуля при , то інтеграл
збіжний.
З цим, а також з іншими критеріями збіжності інтегралів детальніше можна ознайомитись в кн. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – Т. 3. – М., Л.: Гостехиздат, 1949.
2. Невласні інтеграли від необмежених функцій
Нехай на інтервалі задана функція , яка хоча б на одному із кінців або навіть всередині інтервалу має розриви другого роду, наприклад, при
Розглянемо інтеграл . Виникає питання про те, існує чи ні такий інтеграл. Якщо існує, то за яких умов і як його обчислювати. Розглянемо наприклад, інтеграл
У цьому інтегралі в точках підінтегральна функція перетворюється в нескінченність ( розриви другого роду ) . Природно, границі інтегрування за обчислень замінити на , щоб виключити з розгляду точки розриву. В результаті одержимо
Якщо тепер перейти до границі при , то одержимо
Повертаючись до загальних міркувань, формально можна записати, вважаючи, що у всіх вказаних точках функція має розриви другого роду:
Кожний з інтегралів праворуч можна записати як суму двох інтегралів, вибравши між точками ще одну точку Тоді
Тобто завжди можна кожний з
Похожие работы
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы