Читать курсовая по математике: "Интерполяционные сплайны на прямоугольных сетках" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Введение

математика интерполяционный программа многочлен

Теория приближений - раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближенного представления одних математических объектов другими, как правило, более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности. Значительная часть теории приближения относится к приближению одних функций другими, однако есть и результаты, относящиеся к абстрактным векторным или топологическим пространствам.

Теория приближений активно используется при построении численных алгоритмов, а также при сжатии информации.

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций. Она представляет собой один из простых и старейших способов восстановления неизвестной функции на некотором множестве по набору известных значений в отдельных точках этого множества. Для нахождения многих функций, оказывается, эффективно приблизить их алгебраическими многочленами. Наиболее известная интерполяционная формула была открыта Лагранжем в 1975 г. В Scopus опубликовано немало работ связанных с полиномом Лагранжа (см. [1], [2], [3]).

1. Построение интерполяционного многочлена из пространства Дана функция f(x,y), необходимо найти интерполяционный многочлен и найти точность приближения.

Общая формула интерполяционного многочлена Лагранжа p(x,y) ϵ, имеет вид ϵ R. На квадрате Q[0;1]2 строятся узлы. D = dim =(m+1)(n+1) - минимально число узлов интерполяции, гарантирующее единственное решение задачи.

Выбор узлов выглядит так,

Рис. 1 Выбор узлов Ось X - на отрезке [0;1] делится на m равных отрезков,

Ось Y - на отрезке [1;0] делится на n равных отрезков, а точки пересечения и будут узлами интерполяции.

:=(; i=0,…,m; j=0,…,n; - узлы сетки, получающиеся при разбиении координатных сторон квадрата.

Пусть f ϵ C(Q), Задача интерполяции заключается в нахождении такого многочлена p ϵ , для которогоp( = ; i=0,…,m; j=0,…,n; (1) Решение задачи (1) дается следующим аналогом формулы Лагранжа. Положим

Тогда многочленпринадлежит . Тогда для нахождения точности разделим отрезок [0;1] и [1;0] на 1000 (к примеру, можно делить на большее число, чем больше число, тем больше вероятность достигнуть наилучшей точности) равных по длине отрезков. Получим по x и y 1000 новых точек равноудаленных друг от друга. Тогда нахождение точности сводится к формуле

. Приближение кусочно-полиномиальными функциями Пусть функциязадана на единичном квадрате . Обозначим через π разбиение этого квадрата на прямоугольники, стороны которых параллельны сторонам квадрата. Кроме того, если все прямоугольники равны между собой и длины их сторон в направлениях осей равны и , то такое разбиение будем обозначать . Наконец, в случае (разбиение на будет просто писать ). В дальнейшем, говоря о прямоугольниках из разбиения π, мы будем исключать их верхние и правые границы, если они не совпадают с границей единичного квадрата. Таким образом, прямоугольники из разбиения π не пересекаются, и их объединение дает единичный квадрат.

Введем теперь множество π) кусочно-полиномиальных функций степени

Похожие работы