Читать курсовая по физике: "Расчет характеристик электромагнитного поля в прямоугольном волноводе R100 c параметрами по ГОСТ 20900-75" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

(2.4)

(2.5)

.1 Система уравнений для Е-волн в прямоугольном волноводе

Распределение полей в волноводе может быть найдено путем решения системы уравнений Максвелла при заданных граничных условиях на стенках волновода.

Рисунок 2.1 Система координат прямоугольного волновода.

Разместим прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 2.1. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в плоскостях у=0 и у=b, а боковые - в плоскостях х=0 и х=а.

Уравнение

(2.6)

в декартовой системе координат имеет следующий вид:

(2.7)

При интегрировании уравнения (2.7) воспользуемся методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения двух функций Х(х) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменой:

Ψ(x,y)=X(x)Y(y) (2.8)

Подставим (2.8) в (2.7) и выполним частное дифференцирование:

(2.9)

Перейдя в (2.9) от частных дифференциалов к обыкновенным, и поделив его почленно на произведение X(x)Y(y), имеем:

(2.10)

Приравняем первый член уравнения (2.10) постоянному коэффициенту -к²x , а второй - постоянному коэффициенту - к2у. В этом случае уравнение (2.10) может быть представлено в виде системы из трех более простых уравнений:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Уравнения (2.11) и (2.12) являются обыкновенными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, решениями которых являются комбинации показательных либо тригонометрических функций и постоянных коэффициентов.

Решение уравнения (2.11) для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:

(2.14)

В выражение (2.14) входят постоянные коэффициенты С, D и k,для определения которых необходимо воспользоваться граничным условием Eτ = о.

Граничное условие Ет = 0 для выбранного расположения декартовой системы координат относительно стенок волновода преобразуется в следующие условия: для составляющей Ez : Ez = 0, при х=0, х=а, у=0 и у=b.

Применительно к уравнению (2.14) это означает, что при х=0 и при х=а правая часть уравнения должна обращаться в ноль.

Первое условие может быть выполнено только в том случае, если С = 0, а второе - если кх =mπa, где m - любое целое положительное число; а - попе-речный размер широкой стенки волновода. Используя граничные условия, уравнение (2.14) принимает следующий вид:

(2.15)

Проведя аналогичные операции с уравнением (2.12), получаем:

(2.16)

где В - постоянный коэффициент,

kv = nπ/b - постоянный коэффициент, n - любое целое положительное число, b - поперечный размер узкой стенки волновода.

Подставив (2.15) и (2.16) в (2.8), имеем:

(2.17)

Подставив (2.17) в E(ζ,n,z) = E(ζ,n)AE exp(-jKz) и обозначив произведение коэффициентов В, D и А как Е0,получим окончательное решение волнового уравнения для продольной составляющей вектора напряженности электрического поля Е-волн в прямоугольном волноводе

(2.18)

Чтобы воспользоваться уравнениями связи для определения поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей Е-волн в прямоугольном волноводе, необходимо найти частные производныеи . Вычислим их, проведя частное дифференцирование выражения (2.18) по переменным х и у:

Анализ уравнения (2.18) и его

Похожие работы