Читать курсовая по менеджменту: "Оценивание параметров процесса авторегрессии" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

- матричный коэффициент,- невязка. Чем она меньше, тем ближе оценкак истинному значению. Коэффициент K выбирается таким образом, чтобы оценкабыла несмещённой с минимальной матрицей ковариаций.

Если ввести ошибку , то эта ошибка будет удовлетворять следующему уравнению:

,

где

- последовательность гауссовских случайных величин со свойствами

Далее введём квадратную матрицу

Введёмикак среднее и матрицу ковариации

Получим следующее

Осталось выбрать K таким образом, чтобы минимизировать

Представим правую часть в виде полного квадрата относительно K:

Из последнего равенства получим следующее:

(9)

(10)

- оптимальный коэффициент.

- решение уравнения Риккати. Для упрощения моделированиязаменяем стационарным значением. , которая находится из алгебраического уравнения Риккати

(11)

Оценивание параметров регрессии с помощью фильтра Калмана

Так как оцениваем параметр , а он является постоянным, то уравнение для него имеет вид

(12)

Уравнение наблюдения имеет вид

(13)

Тогда сравнивая (6), (7) с (12), (13), получим

В случае уравнения авторегрессии 2-го порядка оцениваем вектор параметров . В этом случае матрица A является единичной 2х2, вектор наблюдения , матрицанулевая, .

3. Моделирование

Были получены массивы данных, подчиняющихся модели авторегрессии 1-го и 2-го порядка. Параметры модели 1-го порядка:

.

Параметры для модели 2-го порядка:

.

В качестве шумовой компоненты использовались случайные величины, имеющие нормальное, равномерное распределение, а так же величины, плотность распределения которых равна

.

Все шумы имеют нулевое средние и единичную дисперсию. На рисунках 1-3 изображёны сгенерированные процессы авторерессии 1-го порядка

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3 На рисунках 4-6 изображёны оценки параметров, полученных методом МНК. Рисунок 4 соответствует нормальному шуму, 5 - равномерному, 6 - с заданной плотностью.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6 На рисунках 7-9 изображена оценка параметров модели 1-го порядка с использованием фильтра Калмана

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9 Как видно из рисунков, на первых шагах оценки наблюдаются значительные отклонения от истинного значения параметра, причём в методе МНК стабилизация наступает значительно раньше по сравнению с фильтром Калмана.

На рисунках 10-12 изображено сравнение двух методов оценок параметра модели 1-го порядка.

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

авторегрессия оценивание фильтр калман

Как видно, траектории методов очень близки.

На рисунках 13-15 изображёна оценка параметров модели 2-го порядка методом МНК в динамике.

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

На рисунках 16-18 изображёна оценка параметров модели 2-го порядка с использованием фильтра Калмана.

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Из вышеприведённых графиков видно, что для моделей 2-го порядка для стабилизации оценки на первых шагах требуется больше времени.

Для сравнения качества оценивания двух методов вычисляется среднее отклонение оценок от истинных значений параметров. Чтобы

Похожие работы