Читать курсовая по математике: "Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений" Страница 2


назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

начальном векторе x(0), то есть x=x( k ) . Таким образом, точное решение системы получается лишь в результате бесконечного процесса, и всякий вектор x(k) из полученной последовательности является приближенным решением. Оценка погрешности этого приближенного решения x(k) дается одной из следующих формул: | xi - xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|, (2.2.4') если выполнено условие (2.2.4), или | xi - xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|, (2.2.5') если выполнено условие (2.2.5). Эти оценки можно еще усилить соответственно так: max | xi - xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|, (2.2.4'')

или | xi - xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|. (2.2.5'') Процесс итераций заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности.

Начальный вектор x( 0 ) может быть выбран, вообще говоря, произвольно. Иногда берут x( 0 )=f. Однако, наиболее целесообразно в качестве компонент вектора x( 0 ) взять приближенные значения неизвестных, полученные грубой прикидкой.

Приведение системы (2.2.1) к виду (2.2.2) можно осуществить различными способами. Важно только, чтобы выполнялось одно из условий (2.2.4) или (2.2.5). Ограничимся рассмотрением двух таких способов.

Первый способ. Если диагональные элементы матрицы А отличны от нуля, то есть

aii0 ( i=1,2,…,n),

то систему (2.2.1) можно записать в виде x1= (b1 - a12 x2 - … - a1n xn ),

x2= (b2 - a21 x1 - a23 x3 -… - a2n xn ),(2.2.6)

xn= (bn - an1 x1 - … - an n-1 xn-1 ). В этом случае элементы матрицы С определяются следующим образом: (ij), cii=0,

и тогда условия (2.2.4) и (2.2.5) соответственно приобретают вид (i=1,2,… ,n), (2.2.7)

(j=1,2,… ,n). (2.2.8) Неравенства (2.2.7), (2.2.8) будут выполнены, если диагональные элементы матрицы А удовлетворяют условию (i=1,2,… ,n), (2.2.9) то есть если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Второй способ позволяет записать систему (2.2.1) в виде x1 = b1 - (a11 -1)x1 - a12 x2 - … - a1n xn ,

x2 = b2 - a21 x1 -(a22 -1)x2 -… - a2n xn ,(2.2.10)

xn = bn - an1 x1 - an2 x2 - … -(ann -1)xn . и пояснений не требует. 3. Описание программного обеспечения 3.1 Общие сведения Данное программное обеспечение представлено в виде двух основных программных модулей (файлы metod1.m и metod2.m) и четырех вспомогательных модулей (файлы system_a.m, system_b.m, x0.m и x_ok.m). 3.2 Функциональное назначение программы Данное программное обеспечение предназначено для решения систем линейных алгебраических уравнений вида Ax=b методом простой итерации.

Программный модуль metod1.m содержит непосредственно алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации, использующий первый способ перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=(x) (см. п.2.2.).

Программный модуль metod2.m также содержит непосредственно алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации, но использующий второй способ перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=(x) (см. п.2.2.).

Вспомогательный модуль system_a.m содержит матрицу А исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Вспомогательный модуль system_b.m содержит столбец b исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Вспомогательный модуль x0.m содержит столбец начального приближения к точному решению исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Вспомогательный модуль x_ok.m содержит столбец точного решения исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.



Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы