Читать курсовая по математике: "Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Программная реализация методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага представлена в виде программы, написанной на языке высокого уровня Borland C++ 3.1. Программу можно запускать в среде MS-DOS или Windows® 95/98/Me/2k/XP. В качестве выхода программа пишет таблицу значений в файл на диск и рисует график на экране ЭВМ.

Для проверки результатов работы созданной программы одни и те же дифференциальные уравнения решались в математическом пакете Waterloo Maple 9.01 и при помощи созданного приложения (версия 1.43), проводился анализ таблиц значений и графиков решений.

Дано дифференциальное уравнение и начальное условие, то есть поставлена задача Коши: (2.1.1) Требуется отыскать интегральную кривую, удовлетворяющую поставленной задаче Коши с помощью метода Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага на отрезке . Задачу можно решить аналитически, найдя решение дифференциального уравнения и подставив в него начальное условие, тем самым, отыскав требуемую интегральную кривую. Но для нас интерес представляет решение данной задачи с применением численного метода, а конкретнее – метода Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага, то есть численное решение. Автоматический выбор шага – необходимое условие адекватного поведения программы при резко изменяющихся функциях, задающих интегральную кривую, позволяющее отразить все моменты в поведении интегральной кривой и добиться высокой точности. 1.2 Метод Эйлера Метод Эйлера для решения начальной задачи (2.1.1) был описан Эйлером в 1768 году. Этот метод весьма прост. Его глобальная погрешность имеет вид , где– постоянная, зависящая от задачи, и– максимальная длина шага. Если желательно, скажем, получить 6 точных десятичных знаков, то требуется, следовательно, порядка миллиона шагов, что не слишком удовлетворительно. С другой стороны, еще со времен Ньютона известно, что можно найти гораздо более точные методы, еслине зависит от , то есть если мы имеем задачу (2.1.1), решаемую квадратурой . (2.2.1) В качестве примера можно рассмотреть первую квадратурную формулу Гаусса, также называемую «правилом средней точки»: (2.2.2) гдеи– граничные точки подинтервалов, на которые разбит интервал интегрирования. Известно, что оценка глобальной погрешности этой формулыимеет вид . Таким образом, если желаемая точность составляет 6 десятичных знаков, ее обычно можно получить приблизительно за 1000 шагов, то есть этот метод в тысячу раз быстрее. Поэтому Рунге поставил следующий вопрос: нельзя ли распространить этот метод на исходную задачу Коши? Первый шаг длиныдолжен иметь вид . (2.2.3)

Но какое значение взять для ? За неимение лучшего естественно использовать один малый шаг метода Эйлера длины . Тогда из предыдущей формулы получим: (2.2.4) Решающим обстоятельством здесь является умножениев третьем выражении на , в результате чего влияние погрешности становится менее существенным. Точнее, вычислим дляразложение Тейлора по степеням : (2.2.5) Его можно сравнить с рядом Тейлора для точного решения, который получается из того, чтопутем повторного дифференцирования с заменойнакаждый раз, когда оно появляется: (2.2.6)

Вычитая из последнего

Похожие работы