Читать контрольная по экономике отраслей: "Модель авторегрессии в корреляционной теории" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

При , можно показать, что , (15) где– частота на которой находится максимум СПМ.

3. Характеристическое уравнение модели авторегрессии Модель АР, описываемая уравнением (1), может быть представлена в операторной форме , (16) где оператор АРимеет вид . (17) Действие оператора сдвига z на текущий отсчет описывается следующим образом . (18) Из условия устойчивости формирующего АР фильтра с рациональной передаточной функцией (11), следует условие стационарности АР процесса. Для проверки стационарности случайного АР процесса используется характеристическое уравнение . (19) Если корни характеристического уравнения (19) лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости, то процесс АР удовлетворяет условию стационарности и его корреляционная функция стационарна. Характеристическое уравнение (19) можно представить также в виде . (20)

Тогда условие стационарности заключается в том, что корни характеристического уравнения (20)должны лежать вне единичного круга на комплексной плоскости.

Используя (19) или (20) оператор АР (17) можно представить в виде . (21) Из (21) следует, что уравнение АР (1) можно записать следующим образом . (22) Сравнивая (1) и (22) найдем связь между коэффициентами АР и корнямихарактеристического уравнения (20). Приведем соответствующие формулы для : , (23a)

;

, (23б)

;

;

, (23в)

;

;

;

, (23г)

где первый индекс в квадратных скобках указывает на соответствующий порядок модели.

Полученные формулы оказываются весьма полезными для определения коэффициентов АР по заданным характеристикам случайного процесса.

Отметим, что корни характеристического уравнения полностью описывают модель АР.

Свойства модели зависят параметров, через которые они выражаются. Если корень действительный, то его можно представить в виде экспоненциальной функции , (24а) где– коэффициент демпфирования равный , а -ширина полосы -го пика СПМ.

Тогда действительные корни характеристического уравнения принимают вид . (24б) Комплексные корни характеристического уравнения описываются выражениями , , (25) где– собственная частота модели АР с поправкой на демпфирование, соответствующая -тому пику СПМ. 4. Генерация коррелированного случайного процесса В задачах статистического моделирования часто возникает необходимость генерации случайного процесса с заданной корреляционной функцией или с заданной формой и характеристиками СПМ. Для этих целей эффективно использовать генератор процесса АР, показанный на рис. 2.

Генерация случайного процесса осуществляется методом порождающего случайного процесса.

Порождающий процесс в виде белого шума, обычно с гауссовой функцией распределения, пропускается через формирующий фильтр, параметры которого определяются соответствующей моделью АР. Рисунок 2. Генератор процесса АР Для генерации процесса нужно выбрать необходимое количество пиков СПМ. Тогда порядок модели АР равен удвоенному числу пиков. Так, для СПМ с одним пиком на ненулевой частоте, порядок модели равен 2. Для СПМ с двумя пиками порядок модели равен 4.

Затем выбирают частоту пика и его ширину полосы.

Похожие работы