Читать доклад по математике: "АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Обозначим через f i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x i и сопоставляемое с y i

Одно из условий согласования можно записать как

S = (f i -y i ) min ,

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается

Использование критерия S = |f i -y i | min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума

Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов , т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой S = (f i -y i ) 2 , (1)

обращается в минимум

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

f(x)=C 0 + C 1 X + C 2 X 2 +...+C M X M . (2)

Формула (1) примет вид S = ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - Y i ) 2

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С 0, С 1 ,...С М :

S C0 = 2 ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - Y i ) = 0 ,

S C1 = 2 ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - y i ) X i = 0 , (3)

S CM = 2 ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - Y i ) X i M = 0 ,

Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений

C 0 (N+1) + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+ C M X i M = Y i ,

C 0 X i + C 1 X i 2 + C 2 X i 3 +...+ C M X i M+1 = Y i X i ,(4)

C 0 X i M + C 1 X i M+1 + C 2 X i M+2 +...+ C M X i 2M = Y i X i M

Для определения коэффициентов С i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения

Задание

Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.

Программа

¦CLS

¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10

¦DIM Y(9): DIM X(9)

¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

¦FOR I = 0 TO N - 1

¦X = X0 + H * I:

¦X(I) = X

¦READ Y(I)

¦PRINT X(I), Y(I)

¦NEXT I

¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

¦I = 0

¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:

¦S2 = S2 + X(I):

¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):

¦S4 = S4 + Y(I)

¦I = I + 1

¦IF I

Похожие работы