Читать диплом по математике: "Линейные и квадратичные зависимости, функция /х/ и связанные с ними уравнения и неравенства" Страница 9

(Назад) (Cкачать работу)

Чтобы решить уравнение или неравенство, содержащее знаки модуля, достаточно:

1) разбить всю область определения уравнения или неравенства на участки, на каждом из которых все выражения, которые стоят под модулем, сохраняют знаки.

2) пользуясь определением функции у = , раскрыть на каждом из таких участков все знаки модулей.

3) решить получившиеся уравнения или неравенства.

4) отобрать из полученных решений все те решения, которые входят в рассматриваемый участок.

5) в ответе указать объединение всех решений, полученных на каждом из участков.

В некоторых задачах под знаком модуля могут находиться выражения, содержащие в свою очередь знаки модулей. В этом случае раскрытие модулей удобно производить последовательно, начиная с самого «внутреннего» знака модуля.

Пример 1. Пусть требуется решить уравнение Применим предложенный алгоритм.

Рис. 2. Приведем, сначала, подобную схему решения.

Согласно рис. 2, первоначальное уравнение равносильно совокупности следующих пяти систем:

Ответ:  Замечание: Заметим, что данное решение можно было записать короче, объединив рассмотрение случаев 1) и 5) в одну систему, а случаев 2) и 4) в другую систему. Ответ: . Такое сокращение рассуждений, во избежание возможных ошибок, мы рекомендуем делать только после приобретения некоторого опыта в решении задач с модулями.

Наиболее полную и наглядную картину дает графическое исследование данного уравнения.

1) Построим график функции Для построения будем использовать схему знаков, изображенных на рис. 2. ТогдаСоответствующий график выглядит так:

-22-11(0;3)(0,5)у = 3ху

Построив график правой части уравнения у = 3, убеждаемся, что графики левой и правой части ( и у = 3) пересекаются, а (фактически – совпадают) на множестве  и .

Более того, графический подход позволяет сразу же решить обобщенную задачу:

При каждом значении параметра а решить уравнение: . Для решения задачи повторим график из рис. 3 и изобразим на том чертеже различные возможные положения прямой у = а.

-22-11(0;3)у

(0,5)у = а, a>5

у = 5

у = 3

у = а, a

Похожие работы