Читать диплом по математике: "Линейные и квадратичные зависимости функция х и связанные с ними уравнения и неравенства" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

2) если , то решения заполняют всю числовую прямую

3) если , то нет решений. 1.3 Решение линейных неравенств Сразу же выпишем решения в виде готового правила:

1) ах > b, если a > 0, то x >

если a 0, то функция монотонно убывает для и монотонно возрастает для

Доказательство теоремы: Пусть (1),

где произвольные фиксированные числа, тогда из (1) получаем а это по (**) есть , что требовалось доказать.

1) В этом рассуждении использовано монотонное возрастание функции на множестве

2) Докажите, что функция монотонно возрастает на множестве

Аналогично доказывается монотонное возрастание функции на

Теорема 3. Если а < 0, то функция монотонно возрастает для и монотонно убывает для

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.

Следствие.

Если а > 0, то для любого х

Если а < 0, то для любого х

При а > 0

При а < 0

min и max достигаются при x =.

Точка называется вершиной параболы. 1.6 Зависимость расположения графика функций квадратного трехчлена от a, D Определение. График квадратного трехчлена называется параболой. Нарисуем эскизы парабол для шести типичных и существенно различных комбинаций значений параметров a и D.

y

++

-X2X1x

2)x

y

0

+

+

3) x

y

+

4) ) x

y

+

-

-

5) x

y

0

-

-

6) x

y

-

1.7 Решение квадратных неравенств Опираясь на иллюстрации, сформулируем следующее правило решения квадратных неравенств:

1.8 Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Теорема 4.

1) Если D > 0, то2) Если D = 0, то .

3) Если D < 0, то нельзя разложить на линейные множители, используя в качестве коэффициентов этих линейных множителей вещественные числа.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. .

Укажем и другие связи между корнями и коэффициентами квадратного трехчлена. Теорема 5. (Виета)

Если , - вещественные корни уравнения , тоТеорема 6. (Обратная теорема Виета)

Если , удовлетворяют условиям системы:то , корни уравнения .

Часто встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.

Следующая теорема позволяет существенно упростить решение подобного рода задач. Отметим, что для уменьшения числа разбираемых различных случаев мы переходим к рассмотрению приведенного квадратного уравнения, которое получается после деления всех коэффициентов уравнения на старший коэффициент a. Теорема 7.

Пусть , - вещественные корни уравнения число.

Место для формулы.

Докажем случай 1.

Необходимость.

Пусть , - вещественные корни уравнения

Если ,

Похожие работы