Читать диплом по математике: "Положительные и ограниченные полукольца" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Выпускная квалификационная работа Положительные и ограниченные полукольца

Содержание

Введение 3

Глава 1. Основные понятия теории полуколец 4

1.1. Определение полукольца. Примеры. 4

1.2. Дистрибутивные решетки 5

1.3. Идеалы полуколец 6

Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца. 7

2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7

2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец 7

Библиографический список 16 Введение Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.

Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.

Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.

Глава I. «Основные понятия теории полуколец»

Определение полукольца. Примеры

Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

(S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

Ассоциативность: ; Коммутативность: ; Существование нейтрального элемента: .

(S,·) – полугруппа:

Ассоциативность: ;

Умножение дистрибутивно относительно сложения:

левая дистрибутивность:а(в+с)=ав+ас; правая дистрибутивность:(а+в)с=ас+вс.

Мультипликативное свойство 0:

.

Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.

Полукольцо S называется коммутативным, если операцияв нем коммутативна: .

Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):

Примеры полуколец:

, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·; - тривиальное полукольцо; Двухэлементные полукольца:, (в В 1+1=1); Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ; Множества N, Z, Q+, Q, R+, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимуми минимумдвух чисел, НОД и НОК, когда они определены.

Полукольцо с импликациейназывается мультипликативно (аддитивно) сократимым.

Полукольцо, в котором выполняется равенство, называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным. 1.2. Дистрибутивные решетки. Пусть L – произвольное множество. Введем на L отношениеположив,

.

Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным

Похожие работы