Читать диплом по математике: "Положительные и ограниченные полукольца" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

21. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.

II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство. Пусть . Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый , такой что . Тогда

,т.к.. Получили y=1 и значит .

Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,

Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.

Посколькувыполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.

III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элементаи любого обратимого элементаэлементобратим.Доказательство.

Полукольцо положительно, следовательно, элемент- обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.

и– обратимы, тогда их произведение также обратимо , значит обратим.

IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:

S – дистрибутивная решетка.

Доказательство.

. Очевидно.

. По свойству 2 следует , тогда:

и .

Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.

V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент. Доказательство.

Пусть есть некоторый обратимый элемент u,

и

VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:

a+1=1;

Доказательство.

. Докажем методом математической индукции по числу n.

База. к=1. (выполняется по условию).

II. Индуктивное предположение. Пусть для к1

Рассмотрим t=1,

…

т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.

X. В положительном полукольце Sсправедливо следующее тождество:

Доказательство.

Домножим на обратный к :

Получим:

Что и требовалось доказать. Библиографический список

Чермных, В.В. Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87. Вечтомов, Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ, 2000. – ст.5 - 30.

Похожие работы