Читать реферат по всему другому: "работа по курсу "Математическая статистика"" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра 804 "Теория вероятности и математическая статистика"

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

"Математическая статистика"

Выполнил:

студент группы 08-304

Принял:

профессор каф. 804

Кан Ю. С.

2003 г.

Задание 1.

Дан случайный вектор , где , k = 15.

Методом Монте-Карло найти вероятность .

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в моделировании требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область Q определяется, исходя из соотношения:

,

где n – объем выборки, m – количество реализаций случайной величины, попавших в область Q.

Для того чтобы смоделировать нормальный случайный вектор с ковариационной матрицей K, задается линейное преобразование, переводящее стандартный нормальный случайный вектор в рассматриваемый случайный вектор с матрицей K.

Чтобы найти матрицу преобразования , приводим квадратичную формук сумме квадратов:

, где

,

.

Таким образом, моделируя вектор из трех некоррелированных стандартных нормальных случайных величин, с помощью преобразования получаем гауссовский вектор с ковариационной матрицей K.

Вектор моделируется с помощью датчика случайных чисел. Для каждой полученной реализации случайного вектора выполняется проверка на попадание в заданный шар. Итоговая вероятность рассчитывается как отношение количества реализаций, попавших в шар, к объему выборки.

На рис. 1а и 1б показаны результаты статистического испытания при объеме выборки n = 10000, k = 15 и k = 1.

Задание 2.

Имеются 50 опытов наблюдения X и Y:

,

где .

Оценить параметры a и b методом наименьших квадратов.

Решение 1:

Для нахождения оценокиприменим метод максимального правдоподобия.

,

Составляем функцию правдоподобия:

,

где n – объем выборки (n = 50).

Получаем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Задача максимизации сводится к минимизации суммы квадратов:

Распишем сумму квадратов:

.

Введем новые обозначения:

С учетом новых обозначений получаем:

J(a,b) =  a2 + nb2 + 2 ab – 2 a – 2 b + 

Берем частные производные:

2 a + 2 b – 2,

2nb + 2 a – 2.

Решаем систему:

Получаем:

,

.

Решение 2:

Оценки параметров можно получить, решая так называемую нормальную систему уравнений:

,

где ,,

Получаем:

т.е. то же самое в виде системы:

Как видно, это та же система, что и в решении 1.

Таким образом, с учетом данных, полученных в опытах по наблюдению за X и Y, получаем значения коэффициентов:

 = 121.415720807951,

 = 75.462893127151,

 = 472.393613346561,

 = 293.720213200493,

 = 1838.39078890617.

Получив значения коэффициентов, получаем значения оценки параметров:

a =

Похожие работы