Читать реферат по статистике: "Математические методи в психології" Страница 4

(Назад) (Cкачать работу)

2X1 + 2X2+...+2Xn = 2Хi = 2Хi

Этот результат возник не вследствие какого-либо магического свойства числа 2: с числами 4, 60 или 131,4 результат будет тот же. В самом деле, если с представляет собой какое-либо постоянное число (то есть число, которое не зависит от i), то

сX1 + сX2+...+сXn = сХi = сХi(Правило 1)

Если постоянное число (константу) с прибавить к каждому из n чисел, то получим

X1 + с, X2+ с, …, Xn + с

Сумма этих значений

(X1 + с) + (X2+ с) + … + (Xn +с) = ( Xi +с)

При сложении мы всегда можем перегруппировать числа в любом порядке до того, как складывать

( Xi +с) = (X1 + X2+...+Xn ) + (с + с + … + с)

Первая сумма в круглых скобках справа дает Хi

Какова же вторая сумма в круглых скобках? Сколько с сложено? Ответ: n. Поэтому вторая сумма равна nс. Следовательно,

( Xi +с) = Хi + с = Хi + nс(Правило 2)

Другое важное выражение - сумма квадратов n чисел

(X1 X1) + (X2 X2) + ... + (Xn Xn ) = + + … + ,

которое символически изображается как Х

Аналогично

+ + … + = Х

хотя в элементарной статистике это выражение встречается редко.

Заметим, что Хi символически изображает единственное число: число, которое получается в результате сложения n чисел.

Хi может быть 10, 13 или 1300. сХi это произведение двух чисел с и Хi . (Хi) (Хi) является произведением числа (некоторой суммы), умноженного на самого себя. Мы также запишем это следующим образом:

(Хi) (Хi) = (Хi)2

Если Х1 = 3, Х2 = 6, а Х3 = 1, то Хi = 10, а (Хi)2 = 100.

Обычным в статистическом анализе является выражение

(Xi +с)2 = (X1 + с)2 + (X2+ с)2 + ... + (Xn +с)2

(Xi +с)2 , равное (Xi +с) (Xi +с), иначе можно записать так:

Xi + с Действительно, тогда

(Xi +с)2 = (Х + 2сХi +с2)

Выражение в скобках можно записать n раз следующим образом:

Х + 2сХ1 +с2

Х + 2сХ2 +с2

… … …

… … …

Х + 2сХn +с2

Чему равна сумма первого столбца данного выражения? Она равнаХ+ Х + … + Х = Х. Какова сумма второго столбца? Она составляет

2сХ1 + 2сХ2 + … + 2сХn = 2с (Х1 + Х2 + … + Хn),

что более кратко можно записать как 2с Хi . Какова сумма третьего столбца? Она представляет собой с2 + с2 + ... + с2 = nc2 . Складывая суммы этих трех столбцов, имеем

(Xi +с)2 = Х + 2сХi.+ nc2. (Правило 3)

Хотя такие действия правильны, в них нет необходимости. Вместо этого можно "распределить" знак суммирования перед каждым членом и получить непосредственно тот же результат:

(Xi +с)2 = (Х + 2сХi +с2) = Х + 2сХi + с2 =

= Х + 2сХi.+ nc2.

Похожие работы