Читать курсовая по математике: "Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Читинский Государственный Университет

Энергетический институт

Факультет экономики и информатики

Кафедра прикладной информатики и математики Реферат

по дисциплине: Численные методы

на тему: Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений Выполнила: ст. гр. ПИ-07-1

Злова В.В. Чита, 2009

СодержаниеВведение

1. Метод Ньютона

1.1 Геометрическая интерпретация метода Ньютона

1.2 Алгоритм решения задач с помощью метода Ньютона

1.3 Примеры решения уравнений с помощью метода Ньютона

2. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений

2.1 Метод итераций

2.1.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода итераций

2.2 Метод Ньютона

2.2.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода Ньютона

2.3 Метод спуска

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Метод Ньютона (также известный как метод касательных) - это итерационный численный метод нахождения корня заданной нелинейной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных.

Что же касается систем нелинейных алгебраических уравнений, то итерационные методы решения данных систем приобретают особую актуальность, в связи с тем, что к ним в отличие от систем линейных уравнений не возможно применить прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно.1. Метод Ньютона .1 Геометрическая интерпретация метода Ньютона Этот метод применяется, если уравнение f(x) = 0 имеет корень x Î [a;b], и выполняются условия:

) функция y=f(x) определена и непрерывна при xÎ(- ¥; + ¥)

) f(a)·f(b)0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x0, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x0 сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Пусть нам дана некоторая функция f(x) = 0 на отрезке [a,b]. Возможно 4 случая:

- f(a)-f(b) < 0; f ¢(x) > 0; f ²(x) > 0

f(a)-f(b) < 0; f ¢(x) > 0; f ²(x) < 0

f(a)-f(b) > 0; f ¢(x) < 0; f ²(x) > 0

- f(a)-f(b) >0; f ¢(x) < 0; f ²(x) < 0

Рис. 1

Рассмотрим метод Ньютона на первом случае.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x), непрерывная на отрезке [a;b], и имеющая f ¢(x) > 0 и f ²(x) > 0. Уравнение касательной имеет вид: y-y0= f ¢(x0)·(x-x0). В качестве точки x0 выбираем точку B(b; f(b)). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x1. Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x1, получаем точку b1. Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке b1, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x2. Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x2, получаем точку b2.

Первое приближение корня определяется по формуле: .

Второе приближение корня определяется по формуле:

. Таким образом, i-ое приближение корны определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы

Похожие работы