Читать доклад по математике: "ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА ПЕРЕМЕННЫХ" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ.

ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В

СФЕРА .

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ВВЕДЕНИЕ

Многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих его факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному набору чисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, становится в соответствие значение исследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.

Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объём данного количества газа вычисляется по формуле

,

где – постоянная, – масса, – абсолютная температура и – давление газа. Таким образом, значение зависит от переменной упорядоченной тройки чисел или, как говорят есть функция трёх переменных .

Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.

Как и в случае функции одного переменного, изучение функции многих числовых переменных начинается с описания их области определения. МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ.

Условимся через обозначать множество всех упорядоченных наборов , состоящих из действительных чисел .

Каждый такой набор будем обозначать одной буквой и в соответствии с удобной геометрической терминологии называть точкой множества .

Число в наборе называют -й координатой точки .

Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве расстояние между точками , по формуле

(1)

Функция

,

определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами:

;;;

.

Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского.

Функцию, определённую на парах точек некоторого множества и обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в .

Множество вместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.

Таким образом, мы превратили в метрическое пространство, наделив метрикой, заданной соотношением (1).

Из соотношения (1) следует, что при

(2)

т. е. расстояние между точками мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.

Из (2), как и из (1), видно, что при множество совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В

Определение 1. При множество

называется шаром с центром радиуса или также -окрестностью точки .

Определение 2. Множество называется открытым в , если для любой точки найдётся шар такой, что .

Пример 1. – открытое множество в .

Пример 2. – пустое множество – вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е. – открытое множество в .

Пример 3. Шар – открытое множество в .

Похожие работы