Читать доклад по математике: "ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА ПЕРЕМЕННЫХ" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

в частности не стягивается в точку сама по себе, т. е. тождественное отображение в себя существенно.

Группы гомотетий сферы , :

Например, , при . В общем случае – для любых и , , группы не вычислены.

И здесь понятие сфера получает обобщение. Например, дикая сфера – топологическая сфера в , не ограничивающая области, гомеоморфной ; Милнора сфера (экзотическая сфера) – многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное .

Топологическое пространство, гомеоморфное сфере, называется топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что некоторое пространство является топологической сферой.

Примеры.

а) Инвариантная топологическая характеристика сферы при не известна. О случае см. Одномерное многообразие. Для того чтобы континуум был гомеоморфен сфере , необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нём такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера).

б) Полное односвязное риманово пространство размерности кривизна которого для всех касательных двухмерных плоскостей – ограничена , т. е. гомеоморфно (теорема о сфере).

в) Односвязное замкнутое гладкое многообразие, (целые) гомологии которого совпадают с гомологиями при (при – неизвестно). Если , то оно также и гомеоморфно , при гипотеза остаётся, при диффеоморфизм не имеет места.

Совершенно аналогично определяется сфера в метрическом пространстве . Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или может быть пустым).

В нормированном пространстве с нормой сферой называется множество : это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая, например, гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной сферы. Один из вариантов, применяющихся в топологии, – тек называемая бесконечномерная сфера – строгий индуктивный предел последовательности вложенных сфер:

другое определение: , где – бесконечномерное многообразие Штифеля. Для любого оказывается, что .

Приложения понятия сфера чрезвычайно разнообразны. Например сферы участвуют в конструкциях новых пространств или дополнительных структур на них. Так, например, проективные пространства можно интерпретировать как сферу с отождествлёнными диаметрально противоположными точками; сфера с ручками и дырами используются в теории ручек. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Буземан Г., Геометрия геодезических. – М., 1962.Зорич В. А. Математический анализ. Ч.1. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.Розенфельд Б. А. , Многомерные пространства. М., 1966.Розенфельд Б. А. , Неевклидовы пространства. М., 1969.

Похожие работы