Читать вопросы по математике: "Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аijR

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка=12 … nназывается взаимно-однозначное

(1) (2) …(n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn( ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1)=(единичная)-четная; 2) sgn (--1 ) = sgn;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn ( )

где-подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=sgn()a1 (1) a2 (2) …an (n) ,A=(aij)n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1.|A|=|At|,где Аt -трансионированная;

2.Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3.Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4.Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5.Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6.Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7.Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a1+...akb1+...bkc1+....ck),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственноееслагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8.Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Длярешения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элементаaij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) .

Минором Mij элемента aijматрицы называется определитель матрицы,

полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aijназывается число (-1)i+jМij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a1jA1j +a2jA2j +....+anjAnjили

|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +...+ain Ain .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1.a11…a1n

|A|=a21…a2n=ann Mnn

………

0……ann

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=sgn()a1 (1) a2 (2)…a n-1, (n-1) a n (n)

Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. Тогда

Похожие работы