Читать вопросы по математике: "Билеты по геометрии" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Билеты по геометрии БИЛЕТ1

А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.

А2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

А3 Если две различные прямые имеют общую точку, то ч/з них можно провести плоскость, и притом только одну. БИЛЕТ2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и М плоскость , а ч/з М в плоскости прямуюb a. Докажем, что b a единственна.

Допустим, что существует другая прямая b2 a, и проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести плоскость 2, которая проходит ч/з М и а, след-но, по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она совпадает с . По аксиоме о параллельных прямых b2 и а совпадают.Ч.Т.Д. БИЛЕТ3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть -плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а1 - прямая в плоскости ,параллельная прямой а. Проведем плоскость 1 ч/з прямые а и а1.

Она отлична от , т.к. прямая а не лежит в плоскости . Плоскости и 1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости .Ч.Т.Д. БИЛЕТ4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Док-во: Рассмотрим две плоскости и . В плоскости лежатпересекающиеся в т.М прямые a и b, а в - прямые а1 и b1, причем а а1 и b b1.

Докажем, что плоскоскоти и не параллельны. Тогда они перес.по прямой с. Мы получили, что плоскость проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости , и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что а с.

Но плоскость проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости . Поэтому bс. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b,с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит толькоБИЛЕТ5

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости и пересекаются с плоскостью . Докажем, что а b.

Эти прямые лежат в одной плоскости () и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. и имели бы общ. точку, что невозможно, т.к.. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а b.

2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H БИЛЕТ6

Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны. Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями и . Докажем, АВ=СD. Плоскость , проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями и по

Похожие работы