Читать вопросы по математике: "Билеты по математическому анализу" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Билеты по математическому анализу Осн. понятия

Грани числовых мн-в

Числовые последовательности

Непр. ф-ции на пр-ке 1. Осн. понятия

Мат.модель – любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.

Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. – число, которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац. – всякое вещественное число, которое не явл. рационал.

Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2…аn… где а –люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.

Некоторые числовые множества.

Мн-ва – первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.

Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х вып-ся усл S(x)}.

Подмн-ва – если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АВ. А=В- мн-ва совпадают.

Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В.

А В={ххА и хВ} пересечение мн-в А и В.

А\ В={ххА, но хВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А

Числовые мн-ва

R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {ха0 найдется такой номер N, для любого n >N:xn-a<

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися. Связь сходящихся посл-тей и б/м.

Дает сл. теорему

Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+n, где посл-ть {n}0, т.е. является б/м.

Док-во

а) Допустим, что xna и укажем посл-ть n удовл. равенству xn=a+n. Для этого просто положим n=xn-a, тогда при nxn-a равно растоянию от xn до а 0 => n б/м и из равенства преобразования определяю n получаем xn=a+n. Свойство б/м

Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.

Т-ма о св-вах б/м

а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м

1) их сумма, разность и произведение являются б/м

2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м

!О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.

Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N xn>c.

!Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б.

Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю. Св-ва сходящихся посл-тей

Теорема “Об единственности пределов”

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

Док-во (от противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, аb. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим

Похожие работы