- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя »
прибавляя ее к третьей строке, получим основную матрицу треугольного вида. Для упрощения разделим элементы последней строки на число (-11): ~ ~(6) Расширенной матрице (6) соответствует следующая система уравнений, эквивалентная исходной системе (2) Отсюда из третьего уравнения получаем . Подставляя найденное значениево второе уравнение, определяем неизвестную : Наконец, после подстановки найденных значенийв первое уравнение, находим неизвестную :Таким образом, решение системы единственное:
Пример 3. Решить систему уравнений
(7) Решение. Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы (7) ~ ~ ~~ ~ ~ ~ .Расширенная матрица, полученная на последнем шаге путем вычитания из элементов четвертой строки соответствующих элементов третьей строки, содержит нулевую строку и имеет ступенчатый вид. Отсюда следует, что исходной системе уравнений эквивалентна система из трех уравнений с 4 неизвестными
Неизвестнуюперенесем в правые части уравнений Отсюда определяем Задавая переменнойпроизвольное значение , найдем бесконечное множество решений системы Если расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду, когда в нулевой строке основной матрицы свободный член отличен от нуля, то система не имеет решения. Например, последняя строка имеет вид . Тогда соответствующее уравнение системы привелось к неверному равенству
Пример 4. Предприятие выпускает три вида товаров, при производстве которых используется три типа ресурсов: рабочая сила, сырье, оборудование. Нормы расхода каждого из них (в условных единицах) на производство единицы каждого товара и объем ресурсов на 1 день заданы таблицей 1.
Таблица 1
Вид ресурсов | Норма расхода ресурсов на производство ед. товара | Объем ресурсов на 1 день | ||
1 вид | 2 вид | 3 вид | ||
Рабочая сила | 1 | 1 | 2 | 800 |
Сырье | 3 | 2 | 4 | 1700 |
Оборудование | 2 | 1 | 3 | 1100 |
Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.
Решение. Пусть- ежедневный выпуск соответственно товаров 1,2 и 3-го вида. Тогда в соответствии с нормами расхода ресурсов каждого типа имеем систему линейных уравнений, содержащих неизвестныеРешим ее методом Гаусса. ~ ~Отсюда находим , т.е. предприятие ежедневно выпускает 100 ед. товаров 1-го вида, 300 ед. товаров 2-го вида и 200 ед. товаров 3-го вида.
Задача для контрольной работы
Кондитерская фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов. При этом используется сырье трех типов. Нормы расхода каждого из них на одно изделие и общий объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей 2. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия, построив систему линейных уравнений и решая ее методом Гаусса и по формулам Крамера. Таблица 2
Номер варианта | Вид сырья | Норма расхода сырья на 1 изделие | Объем расхода сырья | ||
Изделие 1 | Изделие 2 | Изделие 3 | |||
1 | 3 | 2 | 4 | 2000 | |
1 | 3 | 2 | 1100 | ||
2 | 5 | 1 | 1200 | ||
2 | 4 |
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: Линейные уравнения и их свойства |
Предмет/Тип: Математика (Учебное пособие) |
Тема: Линейные уравнения |
Предмет/Тип: Математика (Диплом) |
Тема: Линейные уравнения и неравенства |
Предмет/Тип: Математика (Статья) |
Тема: Линейные дифференциальные уравнения |
Предмет/Тип: Математика (Диплом) |
Тема: Линейные диофантовы уравнения |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (п)) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы