Читать учебное пособие по математике: "Линейные уравнения и их свойства" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Тема 1. Система линейных уравнений В общем случае системалинейных уравнений снеизвестными имеет вид (1) Черезобозначены неизвестные, подлежащие определению, величины , называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, считаются известными. Решением системы (1) называют такую совокупностьчисел , которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений (1) либо не имеет решения, либо имеет единственное решение, либо имеет бесчисленное множество решений. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если решение одной из них является решением другой и наоборот. Коэффициенты системы образуют матрицу, которую называют основной матрицей системы. Если , то матрицаявляется квадратной и ее определительназывается определителем системы. Если определитель квадратной системы уравненийто система имеет единственное решение, определяемое по формулам, называемых формулами Крамера:Здесь - определитель системы, определитель матрицы, получаемой из матрицызаменой го столбца столбцом ее свободных членов.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений Решение. Найдем определитель системы=

Далее вычислим определитель , заменив первый столбец матрицы системы на столбец свободных членов Аналогично находим определители :

Отсюда по формулам Крамера находим решение системы Общую систему линейных уравнений вида (1) можно решить методом Гаусса - методом последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестных методом Гаусса удобно выполнять, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов, к которой справа добавлен столбец свободных членов Полученную матрицуназывают расширенной матрицей системы.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:

Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.

Перестановка строк матрицы.

Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на общее произвольное число.

Метод Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк основную матрицу системыпривести к ступенчатому (или треугольному) виду. Если вернуться к уравнениям, то это означает, что неизвестнаясодержится только в первом уравнении, неизвестная - только в первом и втором уравнении и т. д. Таким образом, неизвестные системы частично исключаются из исходных уравнений системы, а полученная новая система уравнений является эквивалентной исходной системе. Рассмотрим решение методом Гаусса на примерах.

Пример 2. Решить систему уравнений (2) Решение. Расширенная матрица системы имеет вид (3) Поменяем местами первую и вторую строку в матрице (3), чтобы получить

(в этом случае упрощаются последующие вычисления).~ (4) Символ “~” обозначает эквивалентность матриц. Умножим первую строку полученной матрицы (4) на число (-3) и прибавим соответственно к элементам второй строки, далее первую строку матрицы (4) умножим на число (-5) и прибавим к элементам третьей строки этой матрицы. В результате получим матрицу, которой соответствует система уравнений, содержащая неизвестнуютолько в первом уравнении

~ . (5) Так как в матрице (5) , то, умножая вторую строку этой матрицы на число (-5) и

Похожие работы