- 1
(Назад)
(Cкачать работу)Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) =(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно коорди натных осей Ox и Oy равны моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычис ляются по формулам а координаты центра масс и — по формулам где l— масса дуги, т. е. Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Охи Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1. 1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и =1. ◄ Имеем: Следовательно, ► Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти. ◄ Имеем:Отсюда получаем: ► В приложениях часто оказывается полезной следующая Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости ду ги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс. Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности◄Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вок руг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеемОтсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C. 2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7. Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражает ся формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения. ◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью (t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом то имеем: ► Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в беско нечность?
- 1
Похожие работы
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы