Читать учебное пособие по математике: "Вычислительная математика" Страница 4


назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

решению задачи. Вначале выбирают одно или несколько начальных приближений, а затем последовательно, используя найденные ранее приближения и однотипную процедуру расчета, строят новые приближения. В результате такого итерационного процесса можно теоретически построить бесконечную последовательность приближений к решению. Если эта последовательность сходится (что бывает не всегда), то говорят, что итерационный метод сходится. Отдельный шаг итерационного процесса называется итерацией.

Практически вычисления не могут продолжаться бесконечно долго. Поэтому необходимо выбрать критерий окончания итерационного процесса. Критерий окончания связан с требуемой точностью вычислений, а именно: вычисления заканчиваются, когда погрешность приближения не превышает заданной величины.

Оценки погрешности приближения, полученные до вычислений, называют априорными оценками (от лат. a'priori – "до опыта"), а соответствующие оценки, полученные в ходе вычислений называют апостериорными оценками (от лат. a'posteriori – "после опыта").

Важной характеристикой итерационных методов является скорость сходимости метода. Говорят, что метод имеет p-ый порядок сходимости если

|xn+1 - x*| = C|xn - x*|p,

где xn и xn+1 – последовательные приближения, полученные в ходе итерационного процесса вычислений, x* – точное решение, C – константа, не зависящая от n. Говорят, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q < 1, если для всех n справедлива оценка:

|xn - x*|  Cqn.

Итерационный процесс называется одношаговым, если для вычисления очередного приближения xn+1 используется только одно предыдущее приближение xn и k –шаговым, если для вычисления xn+1 используются k предыдущих приближений xn-k+1, xn-k+2, …, xn.

Тема 2. Решение нелинейных уравнений

2.1 Постановка задачи

Пусть дана некоторая функция f(x) и требуется найти все или некоторые значения x, для которых

f(x) = 0.(2.1)

Значение x*, при котором f(x*) = 0, называется корнем (или решением) уравнения (2.1).

Относительно функции f(x) часто предполагается, что f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности корня.

Корень x* уравнения (2.1) называется простым, если первая производная функции f(x) в точке x* не равна нулю, т. е. f '(x*) 0. Если же f '(x*) = 0, то корень x* называется кратным корнем.

Геометрически корень уравнения (2.1) есть точка пересечения графика функции y = f(x) с осью абсцисс. На рис. 2.1 изображен график функции y = f(x), имеющей четыре корня: два простых (xи x) и два кратных (xи x).

Рис. 2.1.

Большинство методов решения уравнения (2.1) ориентировано на отыскание простых корней уравнения (2.1).

2.2 Основные этапы отыскания решения

В процессе приближенного отыскания корней уравнения (2.1) обычно выделяют два этапа: локализация (или отделение) корня и уточнение корня.

Локализация корня заключается в определении отрезка [a, b], содержащего один и только один корень. Не существует универсального алгоритма локализации корня. В некоторых случаях отрезок локализации может быть найден из физических соображений. Иногда удобно бывает локализовать корень с помощью построения графика или таблицы значений функции y = f(x). На наличие корня на отрезке [a, b] указывает различие знаков функции на концах отрезка. Основанием для этого служит



Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы