Читать учебное пособие по математике: "Интегралы. Дифференциальные уравнения" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Интегралы Основные вопросы лекции: первообразная; неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методы интегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма; понятие определенного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница; применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений; задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Функцияназывается первообразной для функциина промежутке , если в любой точке этого промежутка .

Теорема. Еслии– первообразные для функциина некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство =+ . Множество всех первообразных для функциина промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом,

=+ . Свойства неопределенного интеграла

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть

.

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть

, где– произвольное число.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

Метод замены переменной , где– функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Метод интегрирования по частям , гдеи– дифференцируемые функции.

Интегрирование рациональных дробей. Простейшими дробями называют дроби вида и , причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Рациональную функциюможно разложить в сумму простейших дробей, причем в знаменателе этих дробей могут быть и степени от выражения стоящего в знаменателе.

Для интегралов видаделают замену , а для интеграловв общем случае используются подстановки Эйлера.

При интегрировании тригонометрических выраженийв общем случае используется замена переменной , где .

Талица основных интегралов. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.Пусть на отрезкезадана функция . Разобьем отрезок наэлементарных отрезков точками . На каждом отрезкеразбиения выберем некоторую точкуи положим , где . Сумму вида (1) будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезкана части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при

Похожие работы