Читать статья по математике: "О показателе степени некоторых числовых равенств" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Лемма доказана. Полученная система уравнений (9) имеет однозначные решения только в том случае, если хотя бы одно из оснований слагаемых или суммы не может быть представлено в виде другого целого основания с некоторым натуральным показателем степени отличным от 1.

Если все основания числового равенства (1) можно представить в виде некоторых целых положительных чисел с отличным от 1 натуральным показателем степени, то, выбрав какое либо из уравнений системы (9) (для примера взято первое уравнение), будем иметь: Откуда получаем для нового основания в: Полученное значение основания в имеет как положительные, так и отрицательные значения (их количество равно t), что противоречит условию теоремы. По условию теоремы оно должно иметь положительное значение.

Если все основания числового равенства можно представить в виде некоторых целых чисел с отличным от 1 показателем степени, то это говорит о неверности выбора показателя степени всего числового равенства (1). В этом случае в системе уравнений (9) решения каждого уравнения будут иметь неоднозначные, отличающиеся знаком, значения, противоречащие исходному числовому равенству.

Только если показатель степени t хотя бы одного из входящих в числовое равенство оснований равен 1, то все уравнения системы (9) становятся однозначными (Они путем перестановок приводятся к виду, когда в каждом уравнении будет однозначное значение основания в). Числовые равенства типа (1), удовлетворяющие условиям теоремы, удовлетворяют и условиям леммы. Для таких равенств существует тождественно преобразованное алгебраическое уравнение (4) и соответствующие ему условия преобразования (9) определяющие его верность. Следовательно, для удовлетворяющих условиям теоремы верных числовых равенств типа (1), существует система уравнений: …………… Или, что тоже самое: (10)

…………… По условию теоремы все основания степеней , являются взаимно простыми числами, а следовательно в системе уравнений (10) нет сократимых и одинаковых уравнений при любой их перестановке.

Полученная система уравнений приводится к виду системы уравнений (6): (11)

………………………………… Она отличается от системы уравнений (6) только количеством уравнений в системе. В системе уравнений (6) количество уравнений равно (n + 1), а в системе уравнений (11) оно равно (R + 1), где R – количество слагаемых числового равенства (1).

Система уравнений (11) очевидно является равносильной системе уравнений (6) (системы уравнений имеют одни и те же решения и относятся к одному и тому же числовому равенству).

Система уравнений (11) при помощи тождественных преобразований аналогичных преобразованиям приложения № 1, но в обратном порядке (свертка системы уравнений (11)), приводится к равенству типа (1) только в том случае, если показатель степени n = R (где R – количество слагаемых в равенстве (1)).

Следовательно, если существует удовлетворяющее условиям теоремы верное числовое равенство типа (1) с показателем степени n  1, то его показатель степени n = R, что и требовалось доказать.

Теорема нарушается, если среди оснований , имеются сократимые числа.

Чтобы показать это, предположим, что существует числовое равенство: в котором основания степени и являются сократимыми. Запишем их

Похожие работы