Читать статья по математике: "О показателе степени некоторых числовых равенств" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Аналогично система уравнений (5) может не существовать и для числовых равенств типа (1) если основаниями степеней являются рациональные дроби. Пусть основания , целые, положительные числа. Для таких числовых равенств существует система уравнений (5). Система уравнений при помощи тождественных преобразований приводится к виду (преобразование системы уравнений приведено в приложении 1): (6)

…………………………… Следовательно, если существуют удовлетворяющие условиям леммы основания степеней , для которых числовое равенство (1) верное, то существуют соответствующая ему система уравнений (5) и преобразованная система уравнений (6).

По условию показатель степени n входящих в равенство слагаемых и суммы больше 1. Тогда количество уравнений в системе уравнений (6) не меньше 3.

Умножая первое уравнение полученной системы на множитель (У/В)2, а второе на (-2У/В), и складывая первые три равенства, получим:

(7)

Следовательно, если существуют такие целые основания степеней и , для которых числовое равенство (1) верно при n > 1, то существует соответствующее этому числовому равенству алгебраическое уравнение (7).

По условию леммы основания , , а следовательно и слагаемые , являются положительными числами. Тогда для выполнения равенства (7), (поскольку квадрат множителя в скобках при любых значениях входящих в него переменных не отрицателен), необходимо выполнение условий:

(8)

где индекс к пробегает значения от 1 до R (R – количество слагаемых в числовом равенстве (1)).

Или в виде системы уравнений: (9)

…………… Полученные условия преобразования (9) содержат R уравнений (где R – количество слагаемых равенства (1)) и устанавливают при заданных целых, положительных основаниях , соотношения между переменными уравнения (4), при которых любому значению одной из переменных У или Хк можно найти такие значения остальных переменных, при которых будут равны между собой все соответствующие слагаемые обеих частей уравнения (4) (в этом можно убедиться, подставив полученные соотношения (9) в равенство (4)).

Таким образом, если числовое равенство (1) верное, положительные основания степеней и слагаемых и суммы являются целыми числами, а натуральный показатель степени n  1, то существует соответствующее ему тождественно преобразованное алгебраическое уравнение (4) и условия его преобразования (9), позволяющие преобразовать одну часть уравнения (4) к виду его другой части. Условия преобразования (9) из всей совокупности верных и неверных числовых равенств типа (1) при показателе степени n  1 выделяют верные числовые равенства и, если эти условия не выполняются, то не существует и верного числового равенства (1).

Очевидно, что уравнения, входящие в систему уравнений (9), имеют нетривиальные (отличные от ноля) решения (все уравнения системы являются линейными, а одной из переменных можно задавать любое значение).

Следовательно, верное числовое равенство типа (1) при выполнении условий леммы можно преобразовать к виду (4), где каждое из слагаемых

Похожие работы