Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования
Алексей Юрьевич Виноградов к.ф.-м.н.
1. Введение.
На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных методом Фурье).
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:
,
где – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.
Краевые условия имеют вид: где – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,
– значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами =const, решение задачи Коши имеет вид [1]:
,
где , где - это единичная матрица.
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:
.
Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:
,
где это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [1]: предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:
.
Вычисление вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно: Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов =const.
Вектор может рассматриваться на участке приближенно в виде постоянной величины , что позволяет вынести его из под знака интеграла, что приводит к совсем простому ряду для вычислений на рассматриваемом участке.
Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в приведенной выше формуле для каждого участка может использоваться осредненная матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений.
Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор на участке приближенно в виде постоянной величины , что позволяет вынести этот вектор из под знаков интегралов: Известно, что при T=(at+b) имеем
В нашем случае имеем
Тогда получаем .
Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке : Если участок не мал, то его можно поделить на подучастки и тогда можно предложить следующие рекуррентные (итерационные) формулы для вычисления частного вектора:
Имеем .
Также имеем формулу для отдельного
Похожие работы
Интересная статья: Основы написания курсовой работы