Читать статья по математике: "Новый глобальный фрактальный формализм описывает различные сценарии перехода к хаосу" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Новый глобальный фрактальный формализм описывает различные сценарии перехода к хаосу

Б. Г. Леви

Одним из стимулов интенсивного исследования нелинейных физических систем была надежда на то, что, несмотря на свою сложную структуру, они всё же обладают некоторыми универсальными характеристиками, общими для целых классов сходных нелинейных процессов. Наиболее поразительное воплощение эта надежда получила несколько лет назад, когда Митчелл Фейгенбаум (работавший тогда в Лос-Аламосе, а позднее перешедший в Корнеллский университет) обнаружил, что небольшое число универсальных (не зависящих от конкретных деталей динамики) отношений характеризует все системы, претерпевающие при переходе к турбулентности бесконечную последовательность удвоений периода [1]. При этом система Фейгенбаума входит в сложный режим, в котором удаётся выявить масштабно-инвариантную, или фрактальную, структуру. Недавно группа теоретиков разработала метод, позволяющий описывать новую глобальную структуру таких фрактальных объектов. Предсказания, сделанные на основе предложенного формализма, хорошо согласуются с результатами измерений, произведённых в Чикагском университете в экспериментах над жидкостью, переходящей к хаосу по двум различным сценариям.

Теоретический подход. Формализм был разработан [1] Томасом Ч. Хелси, Могенсом X. Иенсеном и Лео П. Кадановым (Чикагский университет), Итамаром Прокачча (Институт Вейцмана) и Борисом И. Шрайманом (Лаборатория фирмы «Белл»). Их работу проще всего понять на примере — применительно к той конкретной динамической системе, на которой была произведена экспериментальная проверка теории [2]. В качестве системы была выбрана система Рэлея–Бенара с внешним возбуждением. Измерения проводились в Чикаго Альбертом Либхабером, Джоэлем Стевансом, Джеймсом Глейзьером и Франсуа Эсло.

Их экспериментальная установка состоит из кюветы с ртутью, подогреваемой снизу и охлаждаемой сверху. Когда градиент температуры становится достаточно большим, в жидкости возникают два вихря (конвективных ролика, или вала), вращающихся навстречу друг другу так, что в середине кюветы течение направлено вверх, а у стенок — вниз. При дальнейшем увеличении градиента конвективные ролики начинают осциллировать. Воображаемая линия, проходящая между роликами параллельно их осям, с малой амплитудой колеблется в горизонтальной плоскости. Помимо этих конвективных колебаний с собственной частотой в системе возбуждают колебания другой частоты, обусловленные вынуждающей пондеромоторной силой. Для этого в центральной части кюветы через ртуть (проводящую жидкость) в вертикальном направлении пропускают переменный ток, а в горизонтальном направлении параллельно осям конвективных роликов прилагают постоянное магнитное поле.

Если эти две частоты несоизмеримы, траектория системы в фазовом пространстве лежит на поверхности некоторого тора. Когда амплитуда переменного тока, возрастая, смещает систему к хаотическому, или турбулентному, режиму, этот тор сильно деформируется. Его поперечное сечение плоскостью, построенное по данным экспериментальных измерений вблизи порога, за которым наступает хаос, показано на рис. 1. Это так называемая критическая орбита. Она построена по измерениям температуры системы,

Похожие работы