Читать статья по математике: "Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры

Бобров А.В.

г. Москва

Контактный телефон – 8 (495)193-42-34

bobrov-baltika@mail.ru

В теореме Ферма утверждается, что равенстводля натуральныхиможет иметь место только для целых .

Рассмотрим равенство

,(1)

гдеи- натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1. В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть- нечетное число,и - натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:

,(2)

гдеи- действительные положительные множители числаВ соответствии со свойствами показательной функции, для любого

из действительных положительных чиселисуществуют единственные значения чисел, удовлетворяющие равенствам

,(3)

Из равенств (2) и (3) следует:

,.(4)

Поскольку p>q, всегда имеет место p-q=k, или аp= аk∙ аq, то есть числаисодержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие выполнимо только при, то есть при. Тогда равенства (4) принимают вид:

, (5)

откуда следует

,(6)

то есть для взаимно простыхичислаивсегда являются двумя последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1) для натуральных взаимно простыхиможет быть выражено только в виде равенства

.(7)

Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.

Пусть в равенстве Ферма числаи– целые взаимно простые,– четное. Тогда числа ,,их суммаи разность - также целые, показатель степениp>q .

Целые числаи

являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1. Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель,то есть ,.

Тогда разность, что для одновременно целыхиможет иметь местотолько при, то есть приили, что и позволило Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.

2

Похожие работы