Читать реферат по математике: "Экстремумы функций многих переменных" Страница 5

(Назад) (Cкачать работу)

условного экстремума. В такой точке линия L и линия уровня Z= f(x, y) =С касаются друг друга (предполагается, что линии гладкие). И угловые коэффициенты касательных к ним должны быть равны. Из уравнения связи (x, y) = 0 имеем

y`=-`x/`y, а из уравнения линии уровня y`=-fx`/fy`. Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование мы получим уравнение

Приведенное рассуждение теряет силу, если линия уровня такова, что во всех ее точках fx`=0, fy`=0. Можно рассмотреть, например, функцию z = 4-x2 и линию уровня x=0, соответствующую значению z = 4.

Можно искать условный экстремум функции f(x,y,z) при двух уравнениях связи: 1(x, y, z) = 0 и 2(x, y, z) = 0

Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии.

Метод множителей Лагранжа в этом случае принимается следующим образом: строим вспомогательную функцию

Ф(x, y, z) = f(x, y, z)+11(x, y, z) +22(x, y, z), где 1 и 2- новые дополнительные неизвестные, и состовляем систему уравнений для отыскания экстремумов этой функции.

Добавляя сюда два уравнения связи получаем систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z, 1, 2. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решением этой системы.

Список использованной литературы:

А.Ф. Бермант, И.Г. Абрамович. Краткий курс математического анализа. Шипачев Учебник высшей математики

Похожие работы