Читать реферат по математике: "Элементы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Реферат

Элементы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Раздел №1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям С проникновением в математику идеи движения и переменных величин, с развитием понятий производной и первообразной данной функции появился новый вид уравнений, решение которых дает возможность находить не просто значение тех или других постоянных величин, а разные виды функциональных зависимостей, законы тех или иных видов движений и других явлений. Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций (или их дифференциалы). Такие уравнения называются дифференциальными.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. Пусть тело, имеющее температурув момент времени t=0, помещено в среду температуры α (>α). Требуется найти закон, по которому изменяется температура тела в зависимости от времени.

Для математического описания этого процесса нужно выбрать независимую переменную; таковой в данном случае является время. Будем вести отсчет времени от того момента, когда тело поместили в среду температуры α и начался процесс его охлаждения. Искомой функцией в данной задаче является меняющаяся со временем температура тела. Обозначим ее через . В начальный момент температура тела была известна, т.е. известно, что при t=0, .

Из физики известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Но скорость охлаждения это скорость изменения (убывания) температуры, а из дифференциального исчисления известно, что скорость изменения какой-либо функции по сравнению с изменением независимой переменной есть производная от этой функции по независимой переменной. Таким образом, учитывая, что функция θ(t) убывающая, сформулированный выше эмпирический закон можно математически записать следующим образом:

, (1)

где k - коэффициент пропорциональности.

Соотношение (1) является математической моделью данного физического процесса. Оно называется дифференциальным уравнением, потому что в него наряду с неизвестной функцией θ(t) входит и ее производная. Поскольку в это уравнение входит независимая переменная, функция и ее первая производная, то это дифференциальное уравнение первого порядка.

Дифференциальное уравнение (1) может описывать и другие физические процессы. Например, радиоактивный распад также описывается уравнением (1) при α=0.

В данном случае уравнение (1) настолько просто, что нахождение функции θ(t) не представляет труда. Действительно, перепишем его в виде

; (2)

В такой записи мы имеем равенство дифференциалов двух различных выражений, а именно:

.

Но из интегрального исчисления известно, что если производные или дифференциалы двух функций равны между собой, то сами функции отличаются друг от друга разве лишь постоянным слагаемым, т.е..

Отсюда потенцированием находим:

,

или

. (3)

Формула (3) и дает выражение температуры как функции времени. Но в эту

Похожие работы