Читать реферат по математике: "Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Реферат

Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Содержание1. Метод Эйлера . О решении ОДУ высших степеней и их систем . Недостатки метода Эйлера . Четырёхточечный метод Рунге-Кутты . Вычислительный эксперимент Литература

1. Метод Эйлера Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, то есть уравнение вида(1)

относительно неизвестной функции y=y(x). Правая часть этого уравнения представляет собой известную функцию двух переменных - х и у. Например, рассматриваемое ОДУ может иметь вид

.

Обратим внимание на то, что при рассмотрении задач механики у нас встречались производные по времени, которые принято обозначать точками над соответствующими переменными. В настоящем же разделе мы рассматриваем функции переменной х и возвращаемся к стандартному обозначению производной от функции штрихом над её символом.

С помощью численных методов мы будем искать частные решения соответствующих дифференциальных уравнений. Впрочем, в большинстве физических приложений требуется отыскание именно таких решений. Действительно, при отправлении, например, космического аппарата с Земли на Марс, нам необходимо найти не все возможные траектории его движения в Солнечной Системе (что соответствовало бы общему решению соответствующей системы ОДУ!), а одну-единственную траекторию, начинающуюся в некоторой точке на Земле и заканчивающуюся в месте желаемой посадки космического аппарата на Марсе. Как уже отмечалось в разделе 1.2 для выделения частного решения из общего необходимо задать некоторые условия, например, начальные условия или краевые.

Уравнение (1) является уравнением первого порядка и поэтому его общее решение зависит лишь от одной произвольной постоянной. В связи с этим для выделения частного решения достаточно задать лишь одно начальное условие:

(2)

Это условие означает, что при фиксированном значении аргументаискомая функция у(х) должна иметь некоторое известное значение .

Таким образом, перед нами стоит вопрос о решении простейшей задачи Коши, которая определяется заданием дифференциального уравнения и некоторого начального условия (более подробно смотри далее):

(3а)

(3b)

Приведённую задачу Коши мы собираемся решать численно. Что это означает? Всем хорошо известны из школьного курса физики «Четырёхзначные математические таблицы» Брадиса. В них разные функции, в частности тригонометрические, задаются в табличной форме: в первой колонке указаны дискретные значения аргумента, например =0.1, 0.2, 0.3, 0.4,…, а в соседней колонке - соответствующие им значения табулируемой функции, например, синуса: sin (0.1), sin (0.2), sin(0.3), sin(0.4),….

Аналогичным образом численное решение рассматриваемой нами задачи Коши будет представлено в форме таблицы значений аргумента

=+, (k=0, 1,2,3…)(4)

и соответствующих им значений функции у(), которая является решением дифференциального уравнения (1). Для краткости, значение функции у(х) при аргументемы будем обозначать символом .

Шаг табулирования h предполагается достаточно малым. Величина его, очевидно, зависит от решаемой нами задачи. Например, при описании движения траектории Земли, возможно, вполне достаточно будет в качестве


Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы