Читать реферат по математике: "Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Таким образом xm ¹ 0 и можем разделить обе части уравнения (7) на xm:

Полагаем , откуда . Подставляя эти значения в последнее уравнение, имеем:

или

.

Получилось уравнение с разделяющимися переменными, которое решаем, как было указано выше:

,

отсюда

и, потенцируя, получаем: x=C×w(t), где через w(t) обозначено все выражение, содержащее t в правой части. Заменяя t отношением , получаем окончательный вид общего интеграла:

x = C×w().

Необходимо учитывать, что при делении намогут быть потеряны решения.

Интегральные кривые однородного уравнения обладают интересным геометрическим свойством: они все подобны друг другу и центр подобия находится в начале координат.

Пример 2. Решить уравнение .

В приведенных выше обозначенияхобе функции являются однородными функциями второй степени, следовательно, данное уравнение однородное. Вводим новую переменную, полагая y=tx. Тогда dy=tdx+xdt, и уравнение после подстановки имеет вид:

Разделяем переменные:

(так как делим только на x и на сумму квадратов , то потери возможных корней нет); затем, интегрируя, получаем

;

потенцируем

и заменяем t через :

.

Делаем преобразование

,

Рис. 1

После чего становится ясно, что имеем семейство окружностей с центрами в точкахна оси Ox и с радиусами, равными . Все эти окружности касаются оси

Oy в начале координат и подобны друг другу (рис.1).

Рассмотрим уравнение вида

. (8)

Если с1=с=0, то это уравнение однородное, ибо оно приводится к виду (6). Пусть хоть одно из чисел с1, с отлично от нуля и предположим еще, что

Сделаем линейную замену обеих переменных:

Тогда наше уравнение примет вид:

Выбрав α и β так, чтобы

получим однородное уравнение

Интегрируя его и возвращаясь к переменным x и y, найдем общий интеграл уравнения (8).

Если же

то мы имеем , откуда a1=ka, b1=kb. Поэтому уравнение (8) можно переписать в этом случае так:

.

Введя здесь вместо y новую неизвестную функцию z по формуле

z=ax+by,

мы придем к уравнению, не содержащему независимой переменной:

.

Пример 3. Решить уравнение .

Заменяя y’ наполучаем:

.

Введем вместо x и y переменные ξ и η, связанные с x и y линейной зависимостью

x=ξ+α, y=η+β,

вследствие чего dx=dξ, dy=dη. Постоянные α и β надо подобрать так, чтобы множители в уравнении при dξ, dη были однородными функциями первой степени. Для этого надо, чтобы в этих множителях

отсутствовали свободные члены, то есть чтобы было

Из этой системы уравнений находим:и подставляем их в формулы для x и y: . Заменяя x и y в данном уравнении, используя эти формулы, получаем однородное уравнение в переменных ξ и η:

.

дифференциальный уравнение интеграл бернулли

Решаем это уравнение по правилам решения однородных уравнений, вводя переменную , и получаем общий интеграл: . Возвращаясь от переменных ξ и η к старым переменным x и y, получаем окончательный вид общего решения данного уравнения: .

Пример 4.

Похожие работы