Читать реферат по математике: "Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Реферат

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка 1. Уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим уравнениеX(x)dx+Y(y)dy=0, (1)в котором коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy - только от y. Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Будем предполагать, что функции X(x) и Y(y) непрерывны при всех рассматриваемых значениях x и y. Тогда уравнение (1) можно переписать так. (2)

Поэтому

. (3)

Это есть общий интеграл уравнения (1). Особых решений нет.

К уравнению с разделенными переменными легко приводится уравнение вида

p1(x)p2(y)dx + q1(x)q2(y)dy = 0

в котором коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения функции от x на функцию от y.

Определение 1.: Уравнение вида

P (x, y)dx + Q (x, y)dy = 0 (4)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P(x,y) и Q(x,y) можно представить в следующем виде P(x,y) = p1(x)p2(y), Q(x,y) = q1(x)q2(y).

В точках, где p2(y) ¹ 0 и q1(x) ¹ 0, переменные x и y можно отделить друг от друга, разделив обе части уравнения

p1(x)p2(y)dx + q1(x)q2(y)dy = 0

на произведение p2(y)q1(x):

.

Интегрируя, получим общий интеграл уравнения (4):

,

где С - произвольная постоянная.

Замечание. Если уравнение p2(y)q1(x) = 0 допускает решения x = a или y = b, то они, очевидно, являются решениями дифференциального уравнения (4), кроме точек пересечения прямых x = a и y = b, так как в этих точках уравнение (4) не определено. Если эти решения входят в общий интеграл, то каждое из них есть частное решение дифференциального уравнения (4), а если нет, то это особые решения.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение .

Разделяя переменные, имеем:

.

Интегрируя почленно, получаем:

- общий интеграл решения.

Уравнениеимеет решения , которые являются особыми, так как не получаются из общего интеграла ни при каких значениях произвольной постоянной и на каждом из них нарушается единственность решения задачи Коши.

. Однородные дифференциальные уравнения

Определение: Функция двух переменных f(x,y) называется однородной функцией степени однородности m, где m целое, если при любом k выполняется следующее равенство:

f (kx,ky) = kmf (x,y).

Покажем, что всякую однородную функцию нулевой степени можно представить в виде функции отношения . Пусть f (x,y) - однородная функция нулевой степени. Возьмем множитель ; по определению однородности имеем:и в правой части действительно стоит функция только отношения . Пусть теперь f (x,y) - однородная функция степени m. Очевидно, что функциябудет однородной функцией нулевой степени и по указанному выше можно написать: , откуда

. (5)

Это общий вид однородной функции степени m.

Определение: Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида

P (x,y)dx + Q (x,y)dy = 0 (6)

где P (x,y) и Q (x,y) - однородные функции одной и той же степени однородности.

Решение такого уравнения проводится путем введения новой переменной , с помощью которой уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, пользуясь формулой (5), можно переписать однородное уравнение в следующем виде:

(7).

Предположим, что функции P(x,y) и Q(x,y) не содержат общего множителя xk, ибо если бы такой множитель был, то уравнение

Похожие работы