Читать реферат по математике: "Обоснование оценок искомых параметров и их ошибок" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Итак, на грубых приборах невозможно получить точных результатов. С помощью статистических методов можно лишь улучшить наивные оценки статистических погрешностей типа (1.3).

. Обоснование оценок ошибок в косвенных измерениях

Независимые измерения

Ниже мы дадим вероятностное обоснование формуле (1.7). Итак, имеем измеряемые величины x и y. Нас интересует наилучшая оценка величины z с ее ошибками, которая связана с предыдущими соотношением . Представим , где Х есть среднее, а есть случайная добавка. Аналогично запишем для других величин. Будем считать, что случайные добавки распределены по нормальному закону. Тогда вероятность

Аналогично для . Мы здесь не выписываем нормировочных коэффициентов. Посколькуинезависимы, то вероятность получения любыхиравна

(7)

Сделаем в последнем выражении замену переменных: отивначале перейдем к переменными(очевидно, среднеквадратичные разбросы новых переменных:и ). Тогда . Теперь сделаем замену в (7): отиперейдем к переменными . Путем простых, но громоздких преобразований можно показать:

, где .

Плотность распределения их вероятности будет:

,

где(8)

имеет смысл дисперсии . Поскольку нас интересует вероятность появления некоторого при любом(при этоминезависимы), то плотность распределения вероятности

.

Таким образом, величинатакже распределена по нормальному закону с разбросом , определяемым формулой (8).

Формула (8) легко обобщается на произвольную функциональную зависимость (см.1.8).

Еще раз напомним, что в этом разделе речь шла об оценке ошибок в случае, когда исходные величины независимые.

Выше речь шла о случайных погрешностях. Как в окончательном ответе учесть систематические ошибки? Суммарная ошибка, учитывающая как случайную, так и систематическую погрешность, может быть оценена либо как простая сумма ошибок (аналогично (1.3)), либо как корень квадратный из суммы квадратов (аналогично (8)). Обосновать ту или иную формулу, по крайней мере, в общем виде не представляется возможным. Очевидно, последняя оценка будет несколько меньше первой.

Доверительный интервал. Надежность оценок

Оценкой ошибок процесс обработки опытов еще не заканчивается. Необходимо еще выяснить надежность выполненных оценок. Это особенно важно в случае небольших выборок, но не только. Поясним сказанное. Как уже говорилось, в качестве оценки для математического ожидания принимается среднее арифметическое. Если число экспериментов велико, то с большой вероятностью среднее арифметическое будет близко к математическому ожиданию. Но при малом числе экспериментов, замена математического ожидания средним арифметическим может привести к некоторой погрешности, т.к. среднее арифметическое меняется в зависимости от числа элементов в выборке. Доверительный интервал и служит для целей оценки качества определения параметров.

Похожие работы