Читать реферат по математике: "Обоснование оценок искомых параметров и их ошибок" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Реферат

Обоснование оценок искомых параметров и их ошибок 1. Оценки искомых параметров и их ошибок. Прямые измерения Обратимся к обоснованию оценок измерений и их погрешностей. Подчеркнем, что определение систематических ошибок не является задачей статистики. Это инструментальная проблема. Поэтому в дальнейшем систематическую ошибку мы исключаем. Впрочем, мы все-таки будем ее вкратце касаться.

Пусть проводятся измерения какой-то величины . В результате N экспериментов имеем выборку N измеренных величин , и нам нужно определить какие-то параметры на основе этих измерений. Будучи некоторой функцией , искомые параметры, в свою очередь, будут некоторыми случайными величинами. Очевидно, их закон распределения будет как-то зависеть от закона распределения . Будем считать, что оценка соответствующих параметров является «хорошей», если она удовлетворяет следующим условиям.

. Является состоятельной, т.е. при оценка сходится к самому параметру (который, вообще говоря, неизвестен).

. Является несмещенной, т.е. поскольку мы используем не сам искомый параметр, а его оценку, то мы не должны делать систематической ошибки в сторону его завышения или занижения, иными словами математическое ожидание этого параметра должно равняться ему самому.

Является эффективной, в том смысле, что несмещенная оценка обладала бы наименьшей дисперсией.

Пусть мы имеем N измерений некоторой величины , которую представим в виде:

(1)

где, как и раньше, Q есть математическое ожидание, есть случайная величина - погрешность. Закон распределения случайной величины нам неизвестен. Известно лишь, что . Наша задача - оценить среднее значение Q и ошибку этого среднего. В качестве математического ожидания естественно взять среднее арифметическое

(2)

т.к. согласно закону больших чисел эта оценка будет состоятельной и несмещенной.

Дисперсия Q (т.е. разброс в определении истинного значения, обозначим дисперсию ) согласно центральной предельной теореме (см. 2.8) равна:

(3)

где у2 есть дисперсия . Если нам как-то определить у2, то мы могли бы найти дисперсию среднего значения, т.е. его разброс. Тогда среднее значение искомой величины мы представили бы в виде: . Такая запись означала бы, что с вероятностью примерно 68% среднее значение искомой величины лежит в пределах относительно найденного значения Q.

Перейдем к определению у2. На первый взгляд для нее представляется естественной взять следующую оценку :

(4)

Можно показать, что эта оценка состоятельна, а также для нормального закона распределения(3) будет минимальной, т.е оценка разброса эффективная. Но расчеты (детали можно найти, например, в книге Вентцель) показывают, что эта оценка является смещенной, а именно, несмещенная оценка должна получаться путем замены (4) на следующее выражение:

(5)

Для больших выборок поправочный коэффициент стремится к единице. Его имеет смысл вводить для небольших выборок.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. В нашей задаче мы имели один искомый параметр Q. И в (5) в знаменателе имеем величину N-1. Если бы мы решали задачу с несколькими искомыми параметрами, скажем, p, то, как показывают исследования, вместо N-1 мы бы имели N-p. Эта величина называется количеством степеней

Похожие работы