Читать реферат по математике: "Геометрические свойства равнобедренных треугольников" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

1.2. Отношение боковой стороны равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно отношению котангенса половинного угла при основании к косинусу полного угла при основании:

1.3. В равнобедренном треугольнике отношение разницы между основной высотой и радиусом вписанной окружности к величине последнего равно отношению боковой стороны к половине основания или величине, обратной значению косинуса угла при основании:

. (4)

Теорема 2: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности

Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно удвоенному произведению квадрата синуса угла при основании или разнице единицы и косинуса двойного угла при основании:

Рис. 2. Равнобедренный ∆ АВС с описанной вокруг него окружностью.

Исходные данные:

Равнобедренный ∆АВС (рис. 2); ВD = h - основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2  а; АВ = ВС = b - боковые стороны треугольника; АQ = BQ = CQ = R - радиус описанной вокруг ∆АВС окружности,  ВАС =  ВСА =  .

Доказать:

(5)

Доказательство:

Формулы для вычисления площади ∆АВС:

S ∆АВС =

S ∆АВС =

Получим:

Следствия из теоремы 2:

2.1. Отношение половины стороны основания равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно синусу двойного угла при основании:

Так как

,

то

(6)

Поскольку

,

то

2.2. Отношение боковой стороны к радиусу описанной окружности равно двум синусам углам при основании:

2.3 В равнобедренном треугольнике отношение разницы между радиусом описанной окружности и основной высотой к величине первого равно косинусу двойного угла при основании:

Следствие из теорем 1 и 2:

В равнобедренном треугольнике отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности равно произведению тангенса половинного угла при основании и синуса двойного угла при основании:

(9)

В табл. 1 представлены взаимосвязи между линейными элементами равнобедренного треугольника (основная высота, половина основания, боковая сторона, радиусы вписанных и описанных окружностей), выражаемые через тригонометрические выражения равных углов при основании.

Таблица 1

Соотношения в равнобедренном треугольнике

В предлагаемых ниже двух теоремах рассмотрены взаимосвязи между вписанными и описанными окружностями двух равнобедренных треугольников, имеющих один общий элемент. В первой теореме данным субъектом является основная высота, во второй - сторона основания. Что же касается совпадения боковых

Похожие работы