Читать реферат по математике: "Геометрическая прогрессия" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

по теме: ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и (как я мог убедится) в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому мне кажется крайне важным дать здесь полное описание этого курса, дабы внимательный читатель мог повторить уже известный ему (надеюсь - прим. автора) из школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного.

Прежде всего необходимо дать определение геометрической прогрессии, ибо не определившись о предмете разговора невозможно продолжать сам разговор. Итак: числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и тоже не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Внесу некоторую ясность в данное выше определение: во-первых, мы требуем от первого члена неравенства нулю для того, что при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии и не будет являться предметом нашего дальнейшего рассмотрения.

Во-вторых, число, на которое умножаются члены прогрессии опять же не должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.

В-третьих, предоставляю возможность вдумчивому читателю самому найти ответ на вопрос, почему мы умножаем все члены прогрессии на одно и тоже число, а не, скажем, на разные. Ответ не так прост, как может показаться вначале.

Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

Несколько слов необходимо сказать и о способах задания геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, условиями b1 = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250, ... . Эта прогрессия не является ни возрастающей ни убывающей последовательностью.

Следует заметить, что: последовательность называется возрастающей (убывающей) если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего.

Таким образом, если q > 0 (q1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1 = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192, ... есть монотонно убывающая последовательность.

Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое

Похожие работы