- 1
- 2
Реферат з курсу “Введение в численные методы”
Тема: “ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ” Содержание 1. Метод последовательных приближений
2. Метод Гаусса-Зейделя
3. Метод обращения матрицы
4. Триангуляция матрицы
5. Метод Халецкого
6. Метод квадратного корня
Литература 1. Метод последовательных приближений Наиболее распространенными методами применительно к большим системам являются итерационные методы, использующие разложение матрицы на сумму матриц, и итерационные методы, использующие факторизацию матрицы, т.е. представление в виде произведения матриц.
Простая итерация: уравнениеприводится к виду , например, следующим образом: , где исодержат произвольную матрицу коэффициентов, по возможности желательно близкую к .
Если выбрать A=H+Q так, чтобы у положительно определенной H легко находилась , тогда исходная система приводится к следующему удобному для итераций виду: . В этом случае, при симметричной матрице A и положительно определенной Q итерационный процесс сходится при любом начальном .
Если взять H в виде диагональной матрицы D= , в которой лишь на главной диагонали расположены ненулевые компоненты, то этот частный случай называется итерационным методом Якоби. 2. Метод Гаусса-Зейделя Метод Гаусса-Зейделя отличается тем, что исходная матрица представляется суммой трех матриц:
. Подстановка ви несложные эквивалентные преобразования приводят к следующей итерационной процедуре: . Различают две модификации: одновременную подстановку и последовательную. В первой модификации очередная подстановка выполняется тогда, когда будут вычислены все компоненты нового вектора. Во второй модификации очередная подстановка вектора выполняется в тот момент, когда будет вычислена очередная компонента текущего вектора. В векторно-матричной форме записи последовательная подстановка метода Гаусса-Зейделя выглядит так: . Вторая форма требует существенно меньшее число итераций. 3. Метод обращения матрицы Эквивалентные преобразования матрицы в произведение более простых, приводящих к решению или облегчающих его получение, начнем с рассмотрения метода обращения матрицы. Так как в общем виде решение системы представляется через обратную матрицу в виде , то предположим, что,
тогда, умножив справа равенство на матрицу A , получим . Отсюда можно сделать вывод, что матрицы должны последовательно сводить матрицу A к единичной. Если преобразующую матрицу выбрать так, чтобы только один ее столбец отличался от единичных векторов-столбцов, т.е., то вектор-столбец можно сформировать таким, чтобы при умножении на текущую преобразуемую матрицув последней i-тый столбец превратился в единичный . Для этого берут и тогда . Фактически это матричное произведение преобразует все компоненты промежуточной матрицы по формулам, применяемым в методе исключения Гаусса. Особенность этого процесса заключается в том, что диагональные элементы исходной и всех промежуточных матриц не должны быть нулевыми.
Кроме обратной матрицы, равной произведению всех T-матриц, теперь можно получать и решения уравнений для любого вектора в правой части. 4. Триангуляция матрицы Разложение исходной матрицы на произведение двух треугольных
- 1
- 2
Похожие работы
Тема: Специальные методы решения алгебраических уравнений. Решения уравнений высших степеней |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Методы решения алгебраических уравнений |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Методы решения алгебраических уравнений |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Методы решения алгебраических уравнений |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Методы решения алгебраических уравнений |
Предмет/Тип: Математика (Контрольная работа) |
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы