Читать реферат по математике: "Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Реферат на тему:

Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.

ПЛАН

Поставка задачі. Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.

Постановка задачі

Многосленом називається функція f комплексної змінної, значення f(Z) якої визначається за формулою.

f(Z) = a0Zn+a1Zn-1+…an(1)

Як правило, завжди припускається, що а00.При цьому число n називається степенем многочлена.

Числа

а0, а1...,an

називаються коефіцієнтами многочлена (1).Будемо вважати ці коефіцієнти довільними комплексними числами.

Комплексне число Z0 називається коренем )а також нулем) многочлена f, якщо

f(Z0) = 0

Якщо Z1, .., Zm – всі корені многочлена f, то

f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zm)nm(2)

де n11,…, nm1. Число n1, і=1, ...m називається кратністю кореня Zi. Сума кратності всіх коренів рівна степеню n многочлена:

n1+...nm=n,

так, що число всіх коренів, врахованих стільки раз, яка їх кратність, рівна n. Тому розклад (2) можна переписати в наступному вигляді.

f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zn)(3)

де тепер Z1, .., Zn – корені многочлена, кожний із яких повторяється стільки раз, яка його кратність.

Ми будемо цікавитись тільки коренями. Тому будемо вважати, що а0=1. Проте це порушить симетрію деяких формул. Разом з тим вважати коефіцієнт а0 довільним теж не добре. Тому вважатимемо коефіцієнт а0 дійсним додатнім числом:

а0 > 0

Корені є комплексними числами і якось розташовані на площині комплексної змінної. Можна, не шукаючи коренів, отримати інформацію про їх розташування.

Для цього є багато такого роду теорем. В кожній з них задається деякий клас многочленів і деякий клас областей. Кожному многочлену даного класу співставляється деяка область, і теорема стверджує, що всі корені многочлена належать цій області.

Тому є теореми другого типу. В них задається область і шукаються умови на коефіцієнти многочлена, при виконанні яких всі корені многочлена належать цій області.

Найпростішими областями є півплощини. Виберемо для визначеності так звану ліву півплощину По, складену із m-k Z=x+iy, для яких х0.

Означення 1. Многочлен.

f=a0Zn+a1Zn-1+an-1Z+an,a00,

називається стійким, якщо всі його корені лежать в лівій півплощині По, тобто якщо всі їх частини від’ємні. Многочлени малих степенів. Т-ма Стодоли.

Для многочленів з дійсними коефіцієнтами степеня 2 дослідження на стійкість тривіальне.

Дійсно, многочлен першого степеня a0t+a1 має єдиний корінь . Цей корінь тоді і тільки тоді від’ємний, коли а00).

Многочлен другого степеня

a0Z2+a1Z+a2

має корені:

Випадок 1. (і, отже, а20). В цьому випадку обидва корені мають одну і ту ж дійсну частину . Тому многочлен тоді і тільки тоді стійкий, коли а10.

Випадок 2. . В цьому випадку обидва корені дійсні. Якщо а10, то один з коренів від’ємний, а другий від’ємний тоді і тільки тоді, коли а20. Якщо ж а10, то хоча б один корінь гарантовано додатній.

Цим доведена наступна теорема:

Теорема 1. Многочлен першого і другого степеня (з дійсними коефіцієнтами і додатнім старшим коефіцієнтом а0) тоді і тільки оді стійкий, коли всі його коефіцієнти додатні.

Для стійкості многочленів вищих ступенів умова додатності коефіцієнтів в будь-якому випадку необхідна.

Теорема 2. (теорема Стодоли). Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами стійкий, то (при ао – 0)

Похожие работы