Читать реферат по математике: "Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної, має такий вигляд

Розглянемо ряд диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду . Нехай алгебраїчне рівняння має по крайній мірі один дійсний корінь. Тоді, інтегруючи , одержимо . Звідсиі виразмістить всі розв’язки вихідного диференціального рівняння.

2) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді

Використовуючи співвідношення , одержимо . Проінтегрувавши, запишемо

.

І загальний розв’язок в параметричній формі має вигляд

3) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді Використовуючи співвідношення , отримаємоі . Проінтегрувавши, запишемо

.

І загальний розв’язок в параметричній формі має вигляд

4) Рівняння Лагранжа

.

Введемо параметр і отримаємо

Продиференціювавши, запишемо

Замінивши одержимо

Звідси

І отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння

Його розв’язок

І остаточний розв’язок рівняння Лагранжа в параметричній формі запишеться у вигляді

5) Рівняння Клеро.

Частинним випадком рівняння Лагранжа, що відповідає є рівняння Клеро

Поклавши, отримаємо . Продиференцюємо Оскільки , то

Скоротивши, одержимоМожливі два випадки.

1.і розв’язок має вигляд

2. і розв’язок має вигляд

.

Загальним розв’язком рівняння Клеро буде сім’я прямих . Цю сім’ю огинає особа крива , .

6) Параметризація загального вигляду. Нехай диференціальне рівняннявдалося записати у вигляді системи рівнянь з двома параметрами

.

Використовуючи співвідношення , одержимо

.

Перегрупувавши члени, одержимо

.

Звідси

.

Або отримали рівняння вигляду

.

Параметризація загального вигляду не дає інтеграл диференціального рівняння. Вона дозволяє звести диференціальне рівняння, не розв’язане відносно похідної, до диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної.

7) Нехай рівняння можна розв’язати відносноі воно має -коренів, тобто його можна записати у вигляді .

Розв’язавши кожне з рівнянь , отримаємозагальних розв’язків (або інтервалів) (або ). І загальний розв’язок вихідного рівняння, не розв’язаного відносно похідної має вигляд

або .

Похожие работы