Читать реферат по математике: "Геометрична прогресія та гармонічний ряд" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Реферат з математики

Геометрична прогресія та гармонічний ряд

1. Одним з найпростіших прикладів рядів є геометрична прогресія.

Ряд вигляду

(1)

називається геометричною прогресією, число q при цьому є знаменником прогресії.

Покажемо, що геометрична прогресія (1) збігається тоді і тільки тоді, коли її знаменник за модулем менше від одиниці:

.(2)

нехай Sn – п-а часткова сума ряду (1). Тоді

Звідси

(3)

якщо , то із (3) знаходимо

й, отже,

(4)

(якщо , то ; чому це так?)

Якщо , то із (3) маємо

при . Якщо q=1, то

, при .

Якщо q= - 1, то

Отже, послідовність Sn розбіжна.

Таким чином, в усіх трьох останніх випадках геометрична прогресія розбіжна. 2. Важливим у теорії рядів є гармонічний ряд, так називають ряд

Покажемо, що гармонічний ряд розбіжний.

Для будь-якого натурального числаіснує натуральне числотаке, щоіпри . Нехай Sn – n–а часткова сума ряду. Тоді

Якщо , то іноді кажуть, що розбіжний рядмає нескінчену суму і записують Таким чином, рядмає нескінчену суму, що дорівнює , якщо a>0, або , якщо a

Похожие работы