Читать реферат по математике: "Задачі, які приводять до поняття графа" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

РЕФЕРАТ на тему: “Задачі, які приводятьдо поняття графа”1. Поняття про графи

   Для вирішення багатьох задач, може бути застосоване таке поняття, як граф.

Граф - це множина точок (вершин), які з”єднані між собою лініями, що називаються дугами або ребрами.

Приведемо приклад задачі, яка може бути розв”язана, за допомогою графів.

Задача 1:

На вечірку запрошено шестеро людей, чи може бути така ситуація,що кожен знав тільки двох запрошених.

Розв”язання:Кожного з цієї компанії зобразимо точкою, і пронумеруємо їх. Якщо двоє знайомі, то з”єднаємо їх відрізком (ребром). Виявляється, що така ситуація не тільки можлива, але й може описуватися декількома схемами.

Тобто можна сказати, що граф-це сукупність об”єктів, зв”язками між якими служать ребра.

Приклади графів з декількома вершинами та ребрами.На малюнку 4 показаний граф з чотирма вершинами та шістьма ребрамиНа малюнку 5 зображено граф з п”ятьма вершинами та двома ребрами

Прикладами графів можуть слугувати схеми метрополітенів, схеми шосейних чи залізничних доріг, карти, які показують зв”зки між окремими об”єктами

2. Задача Ейлера – як яскравий приклад задачі,яка приводить до поняття графа Для рішення серйозних математичних задач математик Ейлер використовував наочні головоломки. Одна з них поклала початок зовсім новій області досліджень, що виросла згодом у самостійний розділ математики - теорію графів і топологію. Особливість цієї теорії - у геометричному підході до вивчення об'єктів.Буваючи в Кенігсберзі, прогулюючи по його набережних, Ейлер звернув увагу на оригінальне розташування семи мостів міста. Причиною цьому був вигадливий течії рукавів Прегеля, з'єднаних протокою, що охоплюють з півночі і півдня острів Кнайпхоф, а потім зливаються разом.У підручниках зображується схема розташування мостів.Приблизно ось така >>>Витончена по своїй конкретності Задача семи мостів Кенігсберга була сформульована Ейлером у 1759 р. у такий спосіб: "як пройти по семи мостах, не проходячи по одному двічі".Для рішення цієї задачі Ейлер вводить поняття «мережі» (щоназивається в наш час «графом») як безлічі непересічних ребер чи зв'язків, що з'єднують пари вершин. Ось так виглядає цей граф, якщо накласти вершини і зв'язки на карту центра нашого міста >>>>>>    Цей же граф для числа "7" у чистому виді без "підкладки". >>>   

 У кожній мережі Ейлер підраховує зв’язки, що приходять у вершини. Якщо число зв'язків непарне, таку вершину Ейлер називає «неправильною» або «дивною». Вершина з парною кількістю зв'язків – «правильна» (у першоджерелі – «мудра»). Як бачимо, усі вершини в нашій мережі з'єднують 3 чи 5 зв'язків. Отже усі вони - неправильні. Виходить, так званої безупинної «доріжки Ейлера», яка проходить через кожну вершину тільки один раз для цього числа не існує.

А в якому випадку існує така «доріжка»?Для рішення цієї задачі Ейлер створив і довів теорему: якщо мережа має не більш двох «дивних» вершин, є принаймні один подібний шлях.

3. Основні теореми теорії графів

Теорія графів, як було сказано вище, – дисципліна математична, створена зусиллями математиків, тому її виклад містить у собі і необхідні строгі визначення. Отже, приступимо до організованого введення основних понять цієї теорії. Визначення 1. Графом називається сукупність